Institute of Transportation Studies
University of California at Berkeley
Fall 2003
ISSN 0192 4109
DISSERTATION SERIES
UCB- ITS- DS- 2003- 1
Spatial Models of Morning Commute Consistent with Realistic
Traffic Behavior
Alejandro Lago
S p a t i a l M o d e l s o f M o r n i n g C o m m u t e C o n s i s t e n t
w i t h
R e a l i s t i c T r a ffi c B e h a v i o r
b y
A l e j a n d r o L a g o
E n g i n e e r i n g ( T e c h n i c a l U n i v e r s i t y o f C a t a l o n i a , S p a i n ) 1 9 9 8
M . S . ( U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y ) 1 9 9 9
A d i s s e r t a t i o n s u b m i t t e d i n p a r t i a l s a t i s f a c t i o n o f t h e
r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g r e e o f
D o c t o r o f P h i l o s o p h y
i n
E n g i n e e r i n g — C i v i l a n d E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g
i n t h e
G R A D U A T E D I V I S I O N
o f t h e
U N I V E R S I T Y O F C A L I F O R N I A , B E R K E L E Y
C o m m i t t e e i n c h a r g e :
C a r l o s F . D a g a n z o , C h a i r
S a m e r M . M a d a n a t
J o h n M . Q u i g l e y
F a l l 2 0 0 3
T h e d i s s e r t a t i o n o f A l e j a n d r o L a g o i s a p p r o v e d :
C h a i r D a t e
D a t e
D a t e
U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y
F a l l 2 0 0 3
1
A b s t r a c t
S p a t i a l M o d e l s o f M o r n i n g C o m m u t e C o n s i s t e n t
w i t h
R e a l i s t i c T r a ffi c B e h a v i o r
b y
A l e j a n d r o L a g o
D o c t o r o f P h i l o s o p h y i n E n g i n e e r i n g — C i v i l a n d E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g
U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y
C a r l o s F . D a g a n z o , C h a i r
U r b a n p l a n n e r s a r e i n c r e a s i n g l y c o n c e r n e d a b o u t t h e s p r a w l i n g s u b u r b a n d e v e l -
o p m e n t i n m e t r o p o l i t a n a r e a s a r o u n d t h e w o r l d , w h i c h t h e y o f t e n b l a m e f o r g r o w i n g
t r a ffi c c o n g e s t i o n a n d e x c e s s i v e h i g h w a y i n v e s t m e n t n e e d s . T h i s d i s s e r t a t i o n s e e k s
t o s h e d l i g h t o n t h i s i s s u e b y s t u d y i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m o r n i n g c o m m u t e
c o n g e s t i o n a n d u r b a n f o r m .
T h e c a u s e s a n d c o n s e q u e n c e s o f t r a ffi c c o n g e s t i o n h a v e b e e n e x t e n s i v e l y s t u d i e d
i n t h e e c o n o m i c s a n d e n g i n e e r i n g l i t e r a t u r e s . U n f o r t u n a t e l y , m o s t c o n c l u s i o n s h a v e
b e e n d r a w n f r o m v e r y i d e a l i z e d m o d e l s , w h i c h e i t h e r f a i l t o c o n s i d e r a d e q u a t e l y t h e
s p a t i a l n a t u r e o f c o n g e s t i o n , b y n e g l e c t i n g t h e e ff e c t s o f p h y s i c a l q u e u e s a n d m e r g -
i n g i n t e r a c t i o n s , o r o v e r l o o k d y n a m i c a s p e c t s , s u c h a s c o m m u t e r s ’ d e p a r t u r e t i m e
a d a p t a t i o n d u r i n g t h e r u s h - h o u r .
T o b e t t e r c a p t u r e t h e s p a t i a l - d y n a m i c n a t u r e o f m o r n i n g c o m m u t e t r a ffi c , t h i s
d i s s e r t a t i o n p r o p o s e s a n e w a n a l y t i c a l f r a m e w o r k t h a t e x p l i c i t l y i n c o r p o r a t e s s p a -
t i a l l y d i s t r i b u t e d c o m m u t e r o r i g i n s , r e a l i s t i c t r a ffi c b e h a v i o r a n d c o m m u t e r t i m i n g
2
d e c i s i o n s . T h e w o r k c o m b i n e s t h e d e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m t h e o r y ( a s fi r s t p r o -
p o s e d b y V i c k r e y [ 1 9 6 9 ] ) w i t h t h e s p a t i a l m o d e l o f t r a ffi c d y n a m i c s o f N e w e l l [ 1 9 9 3 ]
a n d t h e m o d e l o f m e r g e t r a ffi c i n t e r a c t i o n s o f D a g a n z o [ 1 9 9 4 , 1 9 9 5 a ] .
F o c u s i s p l a c e d o n i d e a l i z e d u r b a n c o n fi g u r a t i o n s , w h e r e t r a ffi c b e h a v i o r c a n b e
s t u d i e d a n a l y t i c a l l y a n d g e n e r a l i n s i g h t s c a n b e g a i n e d . W e fi r s t s t u d y t h e e q u i l i b -
r i u m p r o b l e m i n a s t y l i z e d t w o - o r i g i n n e t w o r k . T h i s e n a b l e s u s t o u n d e r s t a n d t h e
f u n d a m e n t a l r o l e o f m e r g i n g b o t t l e n e c k s a n d q u e u e s p i l l o v e r s w h e n c o m m u t e r s h a v e
d i ff e r e n t o r i g i n s . T h e a n a l y s i s i s t h e n e x t e n d e d t o m o d e l c o n g e s t i o n b e h a v i o r i n l o n g
f r e e w a y c o r r i d o r s a n d m o n o c e n t r i c c i t i e s . W e d e v e l o p a n e x a c t p r o c e d u r e t o s o l v e
t h e d y n a m i c d e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m f o r s i n g l e - d e s t i n a t i o n f r e e w a y t r e e n e t w o r k s .
S o l u t i o n s a r e c h a r a c t e r i z e d f o r c a s e s w i t h a n d w i t h o u t a n a l t e r n a t i v e s t r e e t n e t w o r k .
T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e l o c a t i o n - b a s e d c o n g e s t i o n c o s t i s v e r y d e p e n d e n t o n t h e
s p a t i a l b e h a v i o r o f q u e u e s a n d t h a t c o n g e s t i o n c a n b e r e d u c e d b y a l t e r i n g t h e f r e e w a y
a c c e s s p r i o r i t i e s g i v e n t o d i ff e r e n t o r i g i n s . A t t h e s a m e t i m e , u r b a n s p r a w l i s s h o w n t o
c o n t r i b u t e n o t o n l y t o l a r g e r t r a v e l l e d d i s t a n c e s b u t a l s o t o i n c r e a s e d o v e r a l l d e l a y s .
S p r a w l e ff e c t s , h o w e v e r , a r e n o t a s s e v e r e a s o f t e n a s s u m e d .
W e fi n a l l y p r o p o s e s o m e c l o s e d - f o r m c o n t i n u o u s a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e l o c a t i o n -
b a s e d c o n g e s t i o n c o s t . T h e s e f o r m u l a e p r o v i d e a n i m p r o v e d a n d s i m p l e r e p r e s e n t a t i o n
o f t h e d e p e n d e n c e o f c o n g e s t i o n o n t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f p o p u l a t i o n t h a t c a n b e
e a s i l y i n c o r p o r a t e d t o s t u d y p o l i c y i s s u e s . T h e d e s i g n o f m o r e e ff e c t i v e m e a s u r e s t o
r e d u c e c o n g e s t i o n a n d c o n t r o l u r b a n d e v e l o p m e n t i s a n i m m e d i a t e e x a m p l e .
C a r l o s F . D a g a n z o
D i s s e r t a t i o n C o m m i t t e e C h a i r
T o m y p a r e n t s , L u i s a n d M a n u e l a
T h i s d i s s e r t a t i o n i s m a i n l y t h e r e s u l t o f t h e i r s t u b b o r n n e s s
. . . ’ C o s I k n o w w h a t i t m e a n s
T o w a l k a l o n g t h e l o n e l y s t r e e t o f d r e a m s . . . .
— W H I T E S N A K E , H e r e I g o a g a i n ( 1 9 8 7 )
i i i
C o n t e n t s
L i s t o f F i g u r e s v i i
L i s t o f T a b l e s i x
A c k n o w l e d g e m e n t s x i
1 I n t r o d u c t i o n 1
1 . 1 T r a ffi c c o n g e s t i o n a n a l y s i s : s t a t e - o f - t h e - a r t . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 . 1 . 1 T r a ffi c t h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 . 1 . 2 N e t w o r k m o d e l s a n d e q u i l i b r i u m . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 . 1 . 3 E c o n o m i c a n a l y s i s : r o a d p r i c i n g a n d i n v e s t m e n t . . . . . . . . 1 4
1 . 1 . 4 U r b a n l o c a t i o n t h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
1 . 2 D i s s e r t a t i o n o v e r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
1 . 2 . 1 S c o p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
1 . 2 . 2 M a i n c o n t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
1 . 2 . 3 O r g a n i z a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
2 A S i m p l e N e t w o r k M o d e l 2 5
2 . 1 T h e s i n g l e b o t t l e n e c k m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
2 . 2 T w o - o r i g i n d e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m a n d r e a l i s t i c t r a ffi c b e h a v i o r . 3 1
2 . 2 . 1 P r o b l e m f o r m u l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
2 . 2 . 2 T r a ffi c d y n a m i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3
2 . 2 . 3 E q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8
2 . 3 E q u i l i b r i u m a n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
2 . 3 . 1 N o d o w n s t r e a m r e s t r i c t i o n s ( M e r g i n g e ff e c t ) . . . . . . . . . . 4 0
2 . 3 . 2 D o w n s t r e a m r e s t r i c t i o n s ( S p i l l o v e r e ff e c t ) . . . . . . . . . . . . 4 3
2 . 4 D e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m a n d p o i n t q u e u e m o d e l s . . . . . . . . . . 4 9
2 . 5 P o l i c y i m p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
3 A S i n g l e F r e e w a y M o d e l 5 5
3 . 1 T h e f r e e w a y n e t w o r k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6
i v
3 . 1 . 1 N e t w o r k r e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6
3 . 1 . 2 T r a ffi c r e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
3 . 2 K W n e t w o r k m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9
3 . 3 D e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m a s s i g n m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3
3 . 3 . 1 D e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m d e fi n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . 6 3
3 . 3 . 2 E q u i l i b r i u m p r o p e r t i e s r e v i s i t e d . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5
3 . 3 . 3 N e c e s s a r y c o n d i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
3 . 4 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n p r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7
3 . 4 . 1 A g g r e g a t i o n - b y - m e r g e a n d r e c u r s i v e l o g i c . . . . . . . . . . . . 6 7
3 . 4 . 2 S o l u t i o n a l g o r i t h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
3 . 5 N u m e r i c a l a n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
3 . 6 F i n a l r e m a r k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7
4 M o n o - c e n t r i c C i t i e s 7 9
4 . 1 G e n e r a l c a s e : F r e e w a y n e t w o r k / s t r e e t g r i d . . . . . . . . . . . . . . . 8 0
4 . 1 . 1 H o m o g e n e o u s f r e e w a y t r e e n e t w o r k . . . . . . . . . . . . . . . 8 0
4 . 1 . 2 F r e e w a y n e t w o r k a n d s t r e e t g r i d ( R o u t e - c h o i c e ) . . . . . . . . 8 1
4 . 2 S y m m e t r i c c a s e : L i n e a r f r e e w a y / a r t e r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3
4 . 2 . 1 E x t e n d e d s o l u t i o n p r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3
4 . 2 . 2 S o m e b a s i c r e s u l t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6
4 . 3 A c o n t i n u u m a p p r o x i m a t i o n a n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7
4 . 3 . 1 T r a d i t i o n a l v s . K W - b a s e d e q u i l i b r i u m r e p r e s e n t a t i o n . . . . . 8 7
4 . 3 . 2 F u l l r a m p p r i o r i t y s o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
4 . 3 . 3 P a r t i a l r a m p p r i o r i t y a p p r o x i m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . 9 7
4 . 3 . 4 F i n a l r e m a r k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9
5 S o m e G e n e r a l i z e d M o d e l s o f D e p a r t u r e T i m e E q u i l i b r i u m 1 0 1
5 . 1 T w o - o r i g i n n e t w o r k : H e t e r o g e n e o u s l i n k s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2
5 . 1 . 1 G e n e r a l s o l u t i o n p r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3
5 . 1 . 2 N o d o w n s t r e a m r e s t r i c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 6
5 . 1 . 3 D o w n s t r e a m r e s t r i c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7
5 . 2 T w o - o r i g i n n e t w o r k : D i ff e r e n t d e a d l i n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0
5 . 2 . 1 E q u i l i b r i u m u n d e r d i ff e r e n t d e a d l i n e s . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1
5 . 2 . 2 N o d o w n s t r e a m r e s t r i c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2
5 . 2 . 3 D o w n s t r e a m r e s t r i c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4
5 . 3 T h e f r e e w a y m o d e l r e v i s i t e d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9
5 . 3 . 1 H e t e r o g e n e o u s f r e e w a y / t r e e n e t w o r k s . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9
5 . 3 . 2 D i ff e r e n t d e a d l i n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0
5 . 4 F i n a l r e m a r k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0
v
6 C o n c l u s i o n 1 2 3
6 . 1 S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3
6 . 2 F u t u r e w o r k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6
B i b l i o g r a p h y 1 3 1
A T w o - O r i g i n N e t w o r k : M e t e r i n g a n d C a p a c i t y E x p a n s i o n 1 3 7
B N o m e n c l a t u r e 1 4 5
v i i
L i s t o f F i g u r e s
1 . 1 S t e a d y - s t a t e t r a ffi c m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 . 2 C o n g e s t i o n p r i c i n g m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
2 . 1 H o m o g e n e o u s 2 - o r i g i n n e t w o r k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
2 . 2 S i n g l e b o t t l e n e c k e q u i l i b r i u m s o l u t i o n ( fi x e d c a p a c i t y ) . . . . . . . . . 3 0
2 . 3 S i n g l e b o t t l e n e c k e q u i l i b r i u m s o l u t i o n ( t i m e - d e p e n d e n t c a p a c i t y ) . . . 3 1
2 . 4 T r a ffi c a s s i g n m e n t w i t h 2 o r i g i n s . C u m u l a t i v e p l o t r e p r e s e n t a t i o n . . . 3 4
2 . 5 T r a ffi c fl o w m o d e l a n d m e r g e m o d e l [ N e w e l l , 1 9 9 3 ] . . . . . . . . . . . 3 5
2 . 6 N e w e l l ’ s K W p r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7
2 . 7 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n , n o q u e u e s i n l i n k M D . . . . . . . . . . . . . . . 4 2
2 . 8 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n , q u e u e s i n l i n k M D ( P e r m a n e n t b o t t l e n e c k ) . . . 4 6
2 . 9 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n , q u e u e s i n l i n k M D ( T i m e - d e p e n d e n t b o t t l e n e c k ) . 4 7
2 . 1 0 P h y s i c a l q u e u e e v o l u t i o n i n e q u i l i b r i u m s o l u t i o n ( t i m e - d e p e n d e n t c a -
p a c i t y a t D ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8
2 . 1 1 K W m o d e l v s . p o i n t - q u e u e m o d e l . N o d o w n s t r e a m r e s t r i c t i o n s . . . . 5 0
2 . 1 2 K W m o d e l v s . p o i n t - q u e u e m o d e l . D o w n s t r e a m r e s t r i c t i o n s . . . . . . 5 1
3 . 1 S i n g l e f r e e w a y n e t w o r k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
3 . 2 T r a ffi c b e h a v i o r r e p r e s e n t a t i o n a n d n o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . 5 8
3 . 3 K W m o d e l : q - k d i a g r a m a n d a n a l y s i s o f s p i l l o v e r s . . . . . . . . . . . . 6 1
3 . 4 G e n e r a l m e r g e b e h a v i o r . P o s s i b l e fl o w s d e p e n d i n g o n m e r g e q u e u i n g
s t a t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3
3 . 5 E q u i v a l e n c e : 2 - o r i g i n p r o b l e m v s . M e r g e - i p r o b l e m . . . . . . . . . . . 6 9
3 . 6 I n d i v i d u a l c o n g e s t i o n c o s t v s . o r i g i n l o c a t i o n . S e n s i t i v i t y w i t h ˆ k j (  =
0 . 2 ; R = 1 5 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5
3 . 7 E q u i l i b r i u m d e l a y v s . f r e e w a y d e l a y ( ˆ k j = 0 . 6 ;  = 0 . 2 ; R = 1 5 ) . . . . 7 5
3 . 8 I n d i v i d u a l c o n g e s t i o n c o s t v s . o r i g i n l o c a t i o n . S e n s i t i v i t y w i t h R ( ˆ k j =
0 . 6 ;  = 0 . 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6
3 . 9 I n d i v i d u a l c o n g e s t i o n c o s t v s . o r i g i n l o c a t i o n . S e n s i t i v i t y w i t h  ( ˆ k j =
0 . 6 ; R = 1 5 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7
v i i i
4 . 1 M o n o - c e n t r i c c i t y : f r e e w a y - s t r e e t g r i d r e p r e s e n t a t i o n . . . . . . . . . . 8 1
4 . 2 C o n t i n u o u s s o l u t i o n . F u l l r a m p p r i o r i t y ( q m a x = 1 ) . . . . . . . . . . . 9 4
4 . 3 C o n t i n u o u s s o l u t i o n v s . c l o s e d - f o r m a p p r o x i m a t i o n (  ( x ) =  ;  ( x ) =
3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9
5 . 1 H e t e r o g e n e o u s 2 - o r i g i n n e t w o r k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2
5 . 2 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n : h e t e r o g e n e o u s l i n k s , n o q u e u e s i n l i n k M D . . . 1 0 7
5 . 3 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n : h e t e r o g e n e o u s l i n k s , q u e u e s i n l i n k M D . . . . . 1 0 9
5 . 4 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n : d i ff e r e n t d e a d l i n e s , n o q u e u e s i n l i n k M D . . . . 1 1 3
5 . 5 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n : n o n - h o m o g e n e o u s d e a d l i n e s , n o q u e u e s i n l i n k
M D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4
5 . 6 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n s : d i ff e r e n t d e a d l i n e s , q u e u e s i n l i n k M D ( P e r m a -
n e n t b o t t l e n e c k ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7
5 . 7 E q u i l i b r i u m s o l u t i o n s : d i ff e r e n t d e a d l i n e s , q u e u e s i n l i n k M D ( T i m e -
d e p e n d e n t b o t t l e n e c k ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8
A . 1 T o t a l c o s t c h a n g e w i t h m e t e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0
i x
L i s t o f T a b l e s
3 . 1 D e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m a l g o r i t h m f o r t h e h o m o g e n e o u s f r e e w a y . 7 2
3 . 2 T o t a l c o s t s e n s i t i v i t y ( a s % o f s i n g l e o r i g i n c o s t ) . . . . . . . . . . . . 7 7
x i
A c k n o w l e d g m e n t s
F o r m a n y o f y o u a c c i d e n t a l r e a d e r s , t h e a c k n o w l e d g e m e n t s m a y b e t h e fi r s t a n d o n l y p a r t
y o u w i l l e v e r r e a d o f t h i s p i e c e o f w o r k o f m i n e . I h o p e a t l e a s t t o c o n v e y t o y o u w h a t a
w o r t h y e ff o r t w r i t i n g t h i s t h e s i s w a s , e v e n i f o n l y f o r t h e s a k e o f h a v i n g t h e c h a n c e t o t h a n k
a l l t h e p e o p l e t h a t p l a y e d a p a r t i n i t .
I f e e l m o s t i n d e b t e d t o m y f r i e n d , m e n t o r a n d a d v i s o r – s t r i c t l y e n f o r c e d b y t h i s
o r d e r – C a r l o s D a g a n z o . H e n o t o n l y p r o v i d e d m e w i t h k n o w l e d g e a n d s u p p o r t b u t
a l s o t h e m o s t f u n d a m e n t a l v a l u e I a l w a y s n e e d e d : c o n fi d e n c e . H e i s u n d o u b t e d l y t h e
o n l y p e r s o n o n E a r t h t h a t m a d e m e f e e l a s h a m e d . . . b y o f t e n t a k i n g m o r e i n t e r e s t i n
t h i s d i s s e r t a t i o n t h a n I d i d .
M y g r a t i t u d e i s e x t e n d e d t o t h e e x t r a o r d i n a r y p o o l o f p r o f e s s o r s w i t h w h o m I h a d
t h e c h a n c e t o e n g a g e d u r i n g m y t i m e i n B e r k e l e y , e s p e c i a l l y , S a m e r M a d a n a t w h o
t a u g h t m e i n t h e a r t o f t e a c h i n g a n d s h a r e d w i t h m e a w i d e v a r i e t y o f i n t e r e s t s , f r o m
p o l i t i c s t o s o c c e r ; A d i b K a n a f a n i , w h o s e s u p p o r t d u r i n g m y e a r l y y e a r s i n B e r k e l e y
p r o v i d e d m e w i t h a b r o a d e r p e r s p e c t i v e t o f a c e m a n y p r o b l e m s ; J o h n Q u i g l e y , w h o
w i l l i n g l y o ff e r e d h i s t i m e a n d k n o w l e d g e o n u r b a n e c o n o m i c s t o c o m p l e m e n t m y w o r k
i n t h i s t h e s i s ; a n d a l s o , F r a n c e s c R o b u s t ´ e , t r a n s p o r t a t i o n p r o f e s s o r i n B a r c e l o n a ,
w h o s e e n c o u r a g e m e n t a n d a d v i c e m a d e m y i n n e r ‘ H a m l e t ’ fi n a l l y d e c i d e t o c o m e t o
B e r k e l e y .
J u s t a s i n v a l u a b l e t o m e h a s b e e n t h e h e l p o f M a r i M o r d e c a i , C i n d y K e n n o n a n d
t h e r e s t o f s t a ff a t t h e C i v i l E n g i n e e r i n g A c a d e m i c s O ffi c e a n d I T S . I c a n o n l y h o p e
t h a t f o r t h e s a k e o f t h e i r m e n t a l w e l l - b e i n g o t h e r s t u d e n t s a r e b e t t e r o r g a n i z e d t h a n
m e . T h e s a m e c a n b e s a i d a b o u t t h e I T S H a r m e r D a v i s L i b r a r y s t a ff . T o a l l o f
t h e m , I c l e a r l y o w e p a r t o f t h e P , h a n d D j u s t a s t h i s m a g n i fi c e n t i n s t i t u t i o n - t h e
U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a - o w e s p a r t o f i t s r e n o w n e d e x c e l l e n c e .
O b v i o u s l y , a c a d e m i c s i s o n l y a m i n u s c u l e p a r t o f w h a t t h e B e r k e l e y C i r c u s f e d
x i i
i n t o m y l i f e a n d I t r u l y f e e l B e r k e l e y h a s g r a n t e d m e a P h . D . i n f r i e n d s h i p a n d
l i f e e x p e r i e n c e . S i n c e I c o u l d o n l y h o p e t o r e f e r t o a n a p p e n d i x t o i n c l u d e a l l t h e
p e o p l e I h a d t h e o p p o r t u n i t y t o s h a r e m y l i f e w i t h , I w i l l a t l e a s t m e n t i o n h e r e m y
r o o m m a t e s A s i m , J u l i a n ‘ P e l a ´ ı t o ’ a n d S e a n ( a n d o f c o u r s e , o u r v i r t u a l r o o m m a t e
M u g e ) , m y s p a n i s h f e l l o w s C h e m a , R u b e n , G u i l l e r m o , A l f o n s o , E r i k a a n d R a f a i n
r e p r e s e n t a t i o n o f t h e I b e r i a - B e r k e l e y c o m m u n i t y , a n d m y t r a n s p o r t a t i o n p a l s T a n j a
B o l i c , I r w i n G u a d a , Y u w e i L i , S e b a s t i a n R e n a u d , A a r o n G o l u b a n d M a t t M a l c h o w , o f
w h i c h t h e l a t t e r t w o h o l d t h e m o r e - t h a n - h o n o r a b l e t i t l e o f ‘ A m e r i c a n ’ f r i e n d s . A b o v e
a l l , n e v e r t h e l e s s , I n e e d m e n t i o n i n g J u a n C a r l o s M u ˜ n o z , w h o a l w a y s h e l d t h e fl a g I
n e e d e d t o f o l l o w d u r i n g a l l t h e s e y e a r s .
F i n a l l y , I c a n o n l y e x p r e s s m y d e e p e s t l o v e f o r m y f a m i l y : m y p a r e n t s , t o w h o m
t h i s t h e s i s i s d e d i c a t e d s i n c e , I i n s i s t , t h i s w o r k i s m o r e t h e r e s u l t o f t h e i r s t u b b o r n n e s s
t h a n o f m y o w n e ff o r t ; m y g r a n d p a r e n t s , t o w h o m m y a b s e n c e w i l l n e v e r p a y o ff ; m y
b r o t h e r H e c t o r , s o m e b o d y w h o m a y s o m e t i m e s f e e l f o r g o t t e n b u t w h o h a s t a u g h t
m e t h a t r o l e m o d e l s a l s o w o r k i n t h e y o u n g e r - t o - o l d e r b r o t h e r d i r e c t i o n ; a n d fi n a l l y ,
M a r i a , o n c e m y l o v e , n o w m y b e s t f r i e n d a n d a l w a y s m y ‘ p o o k i e ’ , t h e m e m o r y o f
B e r k e l e y w i l l r e m a i n i n d e l i b l y t i e d t o h e r i n m y h e a r t .
F i n a l n o t e : I a m a l s o g r a t e f u l t o t h e U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a T r a n s p o r t a t i o n C e n t e r
( U C T C ) f o r t h e fi n a n c i a l s u p p o r t t h r o u g h o u t m y l a s t y e a r o f r e s e a r c h .
1
C h a p t e r 1
I n t r o d u c t i o n
THIS DISSERTATION s e e k s t o s h e d l i g h t o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m o r n i n g
c o m m u t e c o n g e s t i o n , c o m m u t e r t r i p t i m i n g a n d u r b a n f o r m . U n d e r s t a n d i n g h o w
c o n g e s t i o n i s g e n e r a t e d i s a n e c e s s a r y fi r s t s t e p t o w a r d s t h e d e s i g n o f e ff e c t i v e a n d
e q u i t a b l e m e a s u r e s t o r e d u c e c o n g e s t i o n .
T r a ffi c c o n g e s t i o n r a n k s a m o n g t h e t o p p r o b l e m s i n m e t r o p o l i t a n a r e a s [ U N D P ,
1 9 9 7 ] . 1 T h e t r a d i t i o n a l a p p r o a c h t o m i t i g a t e c o n g e s t i o n h a s b e e n t h e c o n s t r u c t i o n o r
e x p a n s i o n o f r o a d i n f r a s t r u c t u r e , b u t t h i s a p p r o a c h s e e m s n o l o n g e r v i a b l e g i v e n t h e
g r o w i n g s c a r c i t y o f l a n d a n d p u b l i c f u n d s . A s a r e s u l t , t h e i n t e r e s t o f u r b a n p l a n n e r s
a n d p o l i t i c i a n s h a s g r a d u a l l y g r a v i t a t e d t o w a r d s d e v i s i n g s o l u t i o n s t h a t w i l l m a n a g e
t h e e x i s t i n g d e m a n d m o r e e ffi c i e n t l y . T h e s e s o l u t i o n s r a n g e f r o m s h o r t - t e r m p o l i c i e s
a i m e d a t c o n t r o l l i n g d a y - t o - d a y t r a ffi c fl o w s ( i . e . , m a i n l y t h r o u g h r o a d p r i c i n g o r s o m e
o t h e r s t r a t e g y t o c o n t r o l a c c e s s t o t h e r o a d n e t w o r k ) t o m o r e l o n g - t e r m s t r a t e g i e s
a i m e d a t r e d i r e c t i n g l a n d - u s e p a t t e r n s . T r a n s p o r t a t i o n p r a c t i t i o n e r s , h o w e v e r , s e l d o m
1 A l t h o u g h c o n g e s t i o n e s t i m a t e s s h o u l d b e r e g a r d e d w i t h c a u t i o n , s t a t i s t i c s o n u r b a n t r a v e l s u g -
g e s t t h a t m o r n i n g c o m m u t e h a s w o r s e n e d s u b s t a n t i a l l y o n t h e l a s t d e c a d e s . F o r i n s t a n c e , t r a ffi c
d e l a y s p e r p e r s o n r e s u l t i n g f r o m t r a ffi c c o n g e s t i o n i n c r e a s e d b y m o r e t h a n 2 0 0 p e r c e n t f r o m 1 9 8 2 t o
2 0 0 0 ; s e e T T I [ 2 0 0 2 ] .
2 1 I n t r o d u c t i o n
a g r e e o n t h e p l a u s i b l e o u t c o m e s o f m a n y o f t h e s e p o l i c i e s . N o t s u r p r i s i n g l y , f e w g o
b e y o n d t h e d r a w i n g b o a r d s i n c e p o l i t i c i a n s p r e f e r t o a v o i d t h e s u b s t a n t i a l r i s k t h a t
t h e i r i m p l e m e n t a t i o n ( e v e n i f d o n e o n a n e x p e r i m e n t a l b a s i s ) e n t a i l s . T h i s l a c k o f
c o n s e n s u s i s b e s t e x e m p l i fi e d b y t h e c u r r e n t d e b a t e o n u r b a n s p r a w l a n d t h e l o n g -
t e r m p o l i c i e s n e c e s s a r y t o a c h i e v e a s u s t a i n a b l e u r b a n i z a t i o n o f o u r c i t i e s . U r b a n
a r e a s c o n t i n u o u s l y e x p a n d a s p e o p l e p r e f e r t h e a ff o r d a b l e s u b u r b s t o t h e d e n s e , a n d
o f t e n m o r e e x p e n s i v e , c e n t r a l u r b a n l o c a t i o n s . S o m e p o i n t t o t h i s u n s t o p p a b l e u r b a n
s p r a w l a s t h e m a i n c a u s e o f c o n g e s t i o n a n d c a l l f o r m e a s u r e s t o c o n t r o l i t ( e . g . , m i x e d -
u s e l a n d d e v e l o p m e n t , l a n d - u s e t a x a t i o n a n d o t h e r a c c e s s i b i l i t y e n h a n c i n g m e a s u r e s ) ;
o p p o n e n t s , o n t h e o t h e r h a n d , c o n t e n t t h a t t h i s s m a r t g r o w t h a p p r o a c h c a n o n l y
l e a d t o d e n s e r c i t i e s w i t h m o r e c o n g e s t i o n a n d p o l l u t i o n ( s e e C o x [ 2 0 0 0 ] ) . A b e t t e r
u n d e r s t a n d i n g o f t h e m e c h a n i s m s t h a t l i n k c o n g e s t i o n a n d u r b a n f o r m i s h e n c e n e e d e d
t o g u i d e t h i s p o l i c y d e b a t e .
U n f o r t u n a t e l y , a l t h o u g h r e s e a r c h e r s h a v e d e v o t e d s u b s t a n t i a l e ff o r t i n fi n d i n g a d -
e q u a t e w a y s t o d e s c r i b e a n d a n a l y z e c o n g e s t i o n f o r m o r e t h a n 7 5 y e a r s , n o t m a n y
c l e a r a n d r e l i a b l e i n s i g h t s h a v e a r i s e n . T h e a n a l y s i s o f t h e m e c h a n i s m s t h a t g e n e r a t e
c o n g e s t i o n i s i n d e e d a c o m p l e x t a s k . T r a ffi c c o n g e s t i o n i s n o t j u s t t h e r e s u l t o f t h e
t o t a l v o l u m e o f t r i p s d o n e o n a g i v e n m e t r o p o l i t a n a r e a , a s t h e t r a d i t i o n a l e c o n o m i c
r e p r e s e n t a t i o n o f t e n a s s u m e s , b u t o f t h e w a y t h e t r i p s t a k e p l a c e i n s p a c e a n d t i m e .
C o m m u t e t r i p s a r e s p a t i a l l y d i s t r i b u t e d a n d , a s s u c h , c o n g e s t i o n l e v e l s c h a n g e w i t h
l o c a t i o n . S o m e l o c a t i o n s c o n c e n t r a t e a m a j o r n u m b e r o f t r i p s a n d a r i s e a s n a t u -
r a l b o t t l e n e c k s i n t h e n e t w o r k . Q u e u e s a t t h e s e l o c a t i o n s s p r e a d o v e r t h e n e t w o r k
t h e r e b y a ff e c t i n g l o c a t i o n s ( a n d c o m m u t e r s ) d i ff e r e n t l y . T r a ffi c i s a l s o a d y n a m i c
p h e n o m e n o n . C o n g e s t i o n l e v e l s c h a n g e s u b s t a n t i a l l y d u r i n g r u s h - h o u r a n d p e o p l e ,
p a r t i c u l a r l y d u r i n g t h e m o r n i n g c o m m u t e , t e n d t o a d a p t t h e r o u t i n g a n d s c h e d u l i n g
3
o f t h e i r d e p a r t u r e t i m e s t o r e s p o n d t o t h e v a r y i n g c o n g e s t i o n . A r o b u s t c h a r a c t e r -
i z a t i o n o f t r a ffi c b e h a v i o r , e v e n a t t h e m a c r o s c o p i c l e v e l n e e d e d f o r p o l i c y a n a l y s i s ,
m u s t r e c o g n i z e a l l t h e s e i n t e r a c t i o n s e x p l i c i t l y .
T h i s m i x e d s p a t i a l - d y n a m i c n a t u r e o f t h e t r a ffi c p h e n o m e n a p o s e s i m p o r t a n t c h a l -
l e n g e s i n t e r m s o f b o t h t h e m a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p r o b l e m a n d i t s a n a l y -
s i s . T o c o p e w i t h t h e s e d i ffi c u l t i e s , r e s e a r c h h a s b e e n p u l l e d t o t w o d i ff e r e n t e x t r e m e s ,
a s e v i d e n c e d b y t h e t w o m a i n l i t e r a t u r e s o n t h e fi e l d . E n g i n e e r i n g - s t y l e a n a l y s i s h a s
l a r g e l y d r a w n f r o m v e r y c o m p l i c a t e d s i m u l a t i o n / o p t i m i z a t i o n m o d e l s t h a t r e q u i r e
a s s u m p t i o n s n o t a l w a y s f u l l y r e a l i s t i c a n d w h o s e r e s u l t s a r e o f t e n t o o p a r t i c u l a r t o
t h e m o d e l a s s u m e d o r t o o c u m b e r s o m e t o d r a w g e n e r a l i n s i g h t s f o r p o l i c y a n a l y s i s .
O n t h e o t h e r h a n d , e c o n o m i c / p l a n n i n g - s t y l e a n a l y s i s h a s b e e n l a r g e l y b a s e d o n v e r y
s t y l i z e d m o d e l s t h a t o v e r l o o k m a n y o f t h e r e l e v a n t m a r g i n s o f a n a l y s i s ( e . g . , d y n a m i c
i s s u e s l i k e t r i p t i m i n g a r e n e g l e c t e d a n d / o r t r a ffi c m o d e l s a r e o f t e n a s s u m e d t h a t t r e a t
i n c o r r e c t l y t h e i n t e r a c t i o n o f t r i p s i n s p a c e ) .
T h e r e s e a r c h o n t h i s d i s s e r t a t i o n s i t s o n t h e m i d d l e - p o i n t o f t h e s e t w o a p p r o a c h e s .
W e p r o p o s e a n e w f r a m e w o r k t o a n a l y z e t h e t e m p o r a l a n d s p a t i a l i n t e r a c t i o n s b y
c o n s i d e r i n g m o d e l s o f m o r n i n g c o m m u t e t h a t j o i n t l y i n c o r p o r a t e s p a t i a l l y d i s t r i b u t e d
c o m m u t e r o r i g i n s , r e a l i s t i c t r a ffi c b e h a v i o r a n d c o m m u t e r t i m i n g d e c i s i o n s . C r u c i a l
q u e s t i o n s t h a t a r e a n s w e r e d i n c l u d e : ( 1 ) h o w d o e s c o n g e s t i o n d e v e l o p i n c i t i e s a s a
f u n c t i o n o f t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f p o p u l a t i o n ? ( 2 ) h o w d o c o n g e s t i o n c o s t s s u ff e r e d
b y c o m m u t e r s d i ff e r b y l o c a t i o n ? a n d ( 3 ) h o w d o t h e s e c o s t s m a y a ff e c t c o m m u t e
t r a v e l d e c i s i o n s ? B e c a u s e w e s e e k t o o b t a i n c o n c r e t e q u a l i t a t i v e r e s u l t s t h a t w i l l g u i d e
p o l i c y m o r e e ff e c t i v e l y , f o c u s i s p l a c e d o n m o d e l s t h a t c a n b e s o l v e d a n a l y t i c a l l y a n d
f r o m w h i c h g e n e r a l i n s i g h t s c a n b e d r a w n . I d e a l i z e d u r b a n c o n fi g u r a t i o n s a r e u s e d
f o r t h a t p u r p o s e . M o r e i m p o r t a n t l y , w e s e e k t o p r o v i d e a v e r s a t i l e ( i . e . , a n a l y t i c a l )
4 1 I n t r o d u c t i o n
t o o l t o a s s e s s h o w c o s t s a n d c o m m u t e r d e c i s i o n s m a y b e a ff e c t e d b y d i ff e r e n t p o l i c i e s .
T h e r e m a i n d e r o f t h i s c h a p t e r f r a m e s t h e w o r k i n t h i s d i s s e r t a t i o n w i t h i n t h e
e x i s t i n g r e s e a r c h . I n s e c t i o n 1 . 1 w e r e v i e w t h e s t a t e - o f - t h e - a r t c o n g e s t i o n a n a l y s i s .
S e c t i o n 1 . 2 m o t i v a t e s t h e s c o p e o f t h i s r e s e a r c h , s u m m a r i z e s t h e m a i n c o n t r i b u t i o n s
a n d o u t l i n e s t h e o r g a n i z a t i o n o n t h e t h e s i s .
1 . 1 T r a ffi c c o n g e s t i o n a n a l y s i s : s t a t e - o f - t h e - a r t
R e s e a r c h o n t r a ffi c c o n g e s t i o n e n c o m p a s s e s w o r k i n f o u r m a i n r e l a t e d a r e a s : t r a ffi c
t h e o r y , n e t w o r k e q u i l i b r i u m m o d e l l i n g , r o a d p r i c i n g a n d i n v e s t m e n t a n a l y s i s , a n d
u r b a n l o c a t i o n t h e o r y . T h e fi r s t t w o a r e a s a r e d i r e c t l y c o n c e r n e d w i t h t h e p r e d i c t i o n
o f t r a ffi c b e h a v i o r a n d a r e p r e d o m i n a n t l y t h e d o m a i n o f t r a n s p o r t a t i o n e n g i n e e r s a n d
s c i e n t i s t s . T h e l a t t e r t w o a r e a s c o n c e n t r a t e o n t h e e c o n o m i c e ff e c t s o f c o n g e s t i o n ,
p a r t i c u l a r l y o n h o w t o a c h i e v e a n e ffi c i e n t u s e o f t h e r o a d i n f r a s t r u c t u r e u s i n g c o n t r o l
m e c h a n i s m s a n d o n h o w l a n d u s e p a t t e r n s a n d c o n g e s t i o n a r e r e l a t e d .
O b v i o u s l y a f u l l r e v i e w o f a r e s e a r c h a r e a s o b r o a d i n s c o p e c a n n o t b e p r e s e n t e d i n
a n i n t r o d u c t o r y c h a p t e r . T h e r e f o r e , w e w i l l o n l y f o c u s o n t h e h i s t o r i c a l e v o l u t i o n o f
c o n g e s t i o n s t u d i e s , h i g h l i g h t i n g t h e m a i n a p p r o a c h e s a n d d i s c u s s i n g t h e i r l i m i t a t i o n s .
O u r o b j e c t i v e i s t o i d e n t i f y t h e a r e a s w h e r e i m p r o v e m e n t i s n e c e s s a r y .
1 . 1 . 1 T r a ffi c t h e o r y
T r a ffi c m o d e l s a r e f u n d a m e n t a l i n a n y a n a l y s i s o f c o n g e s t i o n . T h e y r e p r e s e n t t h e
p h y s i c s g o v e r n i n g t h e i n t e r a c t i o n o f v e h i c l e s i n a t r a ffi c s t r e a m a n d p r o v i d e f o r m u l a -
t i o n s t h a t a l l o w e s t i m a t i n g t r a v e l c o n d i t i o n s a s a f u n c t i o n o f k n o w n v e h i c l e v o l u m e s
a n d r o a d c h a r a c t e r i s t i c s . M o d e l s c a n b e c o a r s e l y d i v i d e d i n t w o m a i n g r o u p s : m i c r o -
1 . 1 T r a ffi c c o n g e s t i o n a n a l y s i s : s t a t e - o f - t h e - a r t 5
s c o p i c m o d e l s ( i . e . , t h o s e t h a t s t u d y i n d i v i d u a l v e h i c l e i n t e r a c t i o n s ) a n d m a c r o s c o p i c
m o d e l s ( i . e . , t h o s e t h a t r e p r e s e n t t r a ffi c a s fl u i d a n d s t u d y o n l y t h e b e h a v i o r o f s o m e
a g g r e g a t e d v a r i a b l e s ) . W e l i m i t o u r a t t e n t i o n t o t h e l a t t e r m o d e l s s i n c e t h o s e a r e t h e
r e l e v a n t o n e s f o r p o l i c y a n d e c o n o m i c a n a l y s i s .
A s i g n i fi c a n t p o r t i o n o f t h e l i t e r a t u r e f o c u s e s o n s t e a d y - s t a t e ( o r t i m e i n v a r i a n t )
r e p r e s e n t a t i o n s o f t r a ffi c . S t a t i o n a r y t r a ffi c c o n d i t i o n s a r e r e p r e s e n t e d b y a f u n d a -
m e n t a l d i a g r a m , w h i c h d e s c r i b e s t h e p o s s i b l e s t a t e s o f a h o m o g e n o u s t r a ffi c s t r e a m i n
t e r m s o f t h r e e m a i n p a r a m e t e r s : d e n s i t y k ( v e h i c l e s p e r u n i t l e n g t h ) , s p e e d v ( d i s t a n c e
p e r u n i t t i m e ) a n d fl o w q ( v e h i c l e s p e r u n i t t i m e ) . T h e f u n d a m e n t a l d i a g r a m v a r i e s
w i t h t h e r o a d c h a r a c t e r i s t i c s , t r a ffi c c o m p o s i t i o n a n d o t h e r e n v i r o n m e n t a l f a c t o r s , b u t
i t h a s a b a s i c s h a p e r e p r e s e n t e d i n F i g u r e 1 . 1 a ( s e e M a y [ 1 9 9 0 ] f o r a l i t e r a t u r e r e v i e w ) .
A s s h o w n i n t h e u p p e r p a r t o f t h e fi g u r e , s p e e d d e c r e a s e s m o n o t o n i c a l l y w i t h d e n s i t y
( i . e . , t h e n u m b e r o f v e h i c l e s i n t h e r o a d ) , w i t h t h e d e c r e a s e b e i n g s t e e p e r w i t h l a r g e r
d e n s i t i e s w h e n q u e u e s a p p e a r . T h i s b e h a v i o r i s n o t s u r p r i s i n g s i n c e c o m m u t e r s t e n d
t o k e e p s m a l l e r s p a c i n g b e t w e e n v e h i c l e s a s s p e e d d e c r e a s e s . T r a ffi c fl o w i s d e t e r m i n e d
b y s p e e d a n d d e n s i t y t h r o u g h t h e i d e n t i t y q = k v ; t h e r e f o r e , i t fi r s t i n c r e a s e s w i t h
d e n s i t y u p t o a m a x i m u m fl o w ( c a l l e d t h e c a p a c i t y q m a x ) a n d t h e n d e c r e a s e s u n t i l
t h e d e n s i t y r e a c h e s a m a x i m u m v a l u e ( c a l l e d t h e j a m d e n s i t y k j ) w h e n b o t h fl o w a n d
s p e e d a r e z e r o ; s e e t h e l o w e r p a r t o f F i g u r e 1 . 1 a . T h e i n c r e a s i n g b r a n c h o f t h e q − k
d i a g r a m i s n o r m a l l y c a l l e d t h e f r e e - fl o w o r u n c o n g e s t e d r e g i m e , s i n c e t h e s t a t i o n a r y
s t a t e s i n t h i s b r a n c h a r i s e w h e n n o r e s t r i c t i o n s e x i s t d o w n s t r e a m o f t h e r o a d . T h e
d e c r e a s i n g b r a n c h i s c a l l e d t h e c o n g e s t e d o r q u e u e d r e g i m e s i n c e i t s s t a t e s d e s c r i b e
t h e t r a ffi c s t r e a m i n s i d e q u e u e s c a u s e d b y d o w n s t r e a m r e s t r i c t i o n s . T h e d e c r e a s i n g
b r a n c h i s s o m e t i m e s t e r m e d t h e h y p e r c o n g e s t i o n r e g i m e i n t h e e c o n o m i c s l i t e r a t u r e
a n d t h e t e r m v o l u m e i s a l s o o f t e n u s e d i n s t e a d o f fl o w .
6 1 I n t r o d u c t i o n
F o r n e t w o r k d e s i g n , p l a n n i n g a n d e c o n o m i c a n a l y s i s , t h e u s u a l g o a l i s p r e d i c t i n g
t r a v e l t i m e s . M a n y s t u d i e s c u s t o m a r i l y u s e , i n s t e a d o f t h e f u n d a m e n t a l d i a g r a m ,
s o m e f o r m o f a l i n k - b a s e d v o l u m e v s . t r i p t i m e c u r v e f o r t h a t p u r p o s e . V o l u m e -
t r i p t i m e c u r v e s g i v e t h e a v e r a g e v e h i c l e t r i p t i m e a s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f t h e
v o l u m e / c a p a c i t y r a t i o u n d e r s t a t i o n a r y c o n d i t i o n s ; s e e F i g u r e 1 . 1 b . M a t h e m a t i c a l l y ,
t h e s e f u n c t i o n s c a n b e d e r i v e d f r o m t h e u n c o n g e s t e d b r a n c h o f t h e f u n d a m e n t a l d i -
a g r a m s i n c e t h e t r i p t i m e f o r a l i n k o f l e n g t h ` i s ` / v a n d t h e v o l u m e c a p a c i t y r a t i o
i s q / q m a x . T h e s e c u r v e s a r e o f t e n c a l l e d l i n k p e r f o r m a n c e f u n c t i o n s o r v o l u m e - d e l a y
c u r v e s . B e c a u s e o f t h e i r c o n v e n i e n c e , l i n k p e r f o r m a n c e f u n c t i o n s h a v e b e c o m e a s t a n -
d a r d t o o l o f t h e n e t w o r k l i t e r a t u r e ( s e e s e c t i o n 1 . 1 . 2 ) , a n d m a n y a d - h o c f o r m s ( n o t
n e c e s s a r y c o n s i s t e n t w i t h t h e t r a ffi c f u n d a m e n t a l d i a g r a m ) h a v e b e e n p r o p o s e d a n d
t e s t e d e m p i r i c a l l y ; s e e B r a n s t o n [ 1 9 7 6 ] . 2 T h e r e a r e , h o w e v e r , s o m e i m p o r t a n t l i m i -
t a t i o n s t h a t a r e n o t a l w a y s c l e a r l y r e c o g n i z e d i n t h i s r e p r e s e n t a t i o n o f t r a ffi c . F i r s t ,
l i n k p e r f o r m a n c e f u n c t i o n s r e p r e s e n t s t e a d y - s t a t e b e h a v i o r t h a t c a n n o t b e a s s u m e d
t o h o l d d u r i n g a f u l l p e a k p e r i o d . H e n c e , l i n k p e r f o r m a n c e f u n c t i o n s e s t i m a t e d f r o m
t i m e - d e p e n d e n t d a t a m a y i n t e r n a l i z e n o t o n l y t h e t e c h n o l o g i c a l a s p e c t s o f t h e r o a d
s e g m e n t s w h e r e t h e y a r e e s t i m a t e d , b u t a l s o f e a t u r e s o f i t s d e m a n d . S e c o n d , f r o m a
s p a t i a l p o i n t o f v i e w , t h e s e f u n c t i o n s i g n o r e s p a t i a l i n t e r a c t i o n s b e t w e e n c o n n e c t e d
l i n k s ( e . g . , i n t e r a c t i o n s a t m e r g e s o r d i v e r g e s ) . H e n c e , t h e i r u s e o n m o s t n e t w o r k
s e t t i n g s i s u n r e a l i s t i c . F i n a l l y , v o l u m e - d e l a y s f u n c t i o n c a n o n l y r e p r e s e n t a d e q u a t e l y
s i t u a t i o n s o f m i l d c o n g e s t i o n . W h e n q u e u e s fi l l a l i n k , e x p e r i e n c e a n d e x p e r i m e n t s
s h o w t h a t l o n g e r t r a v e l t i m e s a r i s e w h e n fl o w d e c l i n e s , a r e s u l t c o n t r a r y t o t h e l i n k
f u n c t i o n p r e d i c t i o n . O b v i o u s l y , t h i s l i m i t a t i o n r e d u c e t h e a p p l i c a b i l i t y o f s u c h f u n c -
t i o n s s i n c e n e t w o r k s w i t h o u t s p i l l o v e r s a r e r a r e ( i . e . , t h e s i t u a t i o n s o f i n t e r e s t a r e
2 B y f a r t h e m o s t w i d e l y u s e d l i n k p e r f o r m a n c e f u n c t i o n s a r e t h e BPR c u r v e s [ B u r e a u o f P u b l i c
R o a d s , 1 9 6 4 ] .
1 . 1 T r a ffi c c o n g e s t i o n a n a l y s i s : s t a t e - o f - t h e - a r t 7
n o r m a l l y t h o s e w h e r e l a r g e d e l a y s a r e e x p e r i e n c e d b y c o m m u t e r s ) . T o o v e r c o m e
t h e s e l i m i t a t i o n s , t r a ffi c m o d e l s m u s t e x p l i c i t l y c o n s i d e r t h e t r a ffi c d y n a m i c s .
q m a x
f l o w q m a x
( q )
f l o w
( q )
d e n s i t y
( k )
s p e e d
( v ) t r a v e l   t i m e
( t t )
v
k j
( a )   F u n d a m e n t a l   D i a g r a m ( b )   T r a v e l   t i m e - v o l u m e   f u n c t i o n
F i g u r e 1 . 1 . S t e a d y - s t a t e t r a ffi c m o d e l .
D y n a m i c m o d e l s a l l o w f o r t r a ffi c c o n d i t i o n s ( e . g . , fl o w , d e n s i t y a n d s p e e d ) t o v a r y
w i t h l o c a t i o n a n d t i m e . T h e s i m p l e s t a n d m o s t w i d e l y a c c e p t e d d y n a m i c m o d e l i s
t h e k i n e m a t i c w a v e ( h e r e a f t e r K W ) m o d e l , fi r s t p r o p o s e d b y L i g h t h i l l a n d W h i t m a n
[ 1 9 5 5 ] a n d R i c h a r d s [ 1 9 5 6 ] . T h i s m o d e l a s s u m e s t h a t t r a ffi c c a n b e t r e a t e d a t t h e
m a c r o s c o p i c l e v e l l i k e a fl u i d a n d t h a t t h e s t a t i o n a r y f u n d a m e n t a l fl o w - d e n s i t y d i a -
g r a m h o l d s a l s o u n d e r n o n - s t a t i o n a r y c o n d i t i o n s a t e v e r y l o c a t i o n a n d t i m e . T r a n -
s i t i o n s b e t w e e n d i ff e r e n t s t a t i o n a r y s t a t e s ( e . g . , b e t w e e n a f r e e - fl o w a n d a q u e u e d
s i t u a t i o n ) a r e r e p r e s e n t e d b y w a v e s t h a t p r o p a g a t e a l o n g t h e r o a d s e g m e n t . T h e
K W t h e o r y – a s o r i g i n a l l y p r e s e n t e d b y L i g h t h i l l a n d W h i t m a n , a n d R i c h a r d s – r e -
q u i r e s a b u r d e n s o m e m a t h e m a t i c a l a p p a r a t u s t o o b t a i n s o l u t i o n s . T h i s i n c o n v e n i e n c e
h a s l i m i t e d i t s u s e f o r p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s , a n d s e v e r a l a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s h a v e
b e e n p r o p o s e d . T h e m o s t c o m m o n s i m p l i fi c a t i o n c o n s i s t s i n a s s u m i n g t h a t t h e s t a t i c
v o l u m e - d e l a y f u n c t i o n s a l s o a p p l y t o t h e d y n a m i c c a s e ; i . e . , t h a t t h e t r a v e l t i m e ( o r
8 1 I n t r o d u c t i o n
f o r t h a t m a t t e r , t h e s p e e d ) o f a v e h i c l e e n t e r i n g a r o a d i s o n l y a f u n c t i o n o f t h e r o a d
i n fl o w a t t h e t i m e o f e n t r y . T h i s i s e q u i v a l e n t t o a s s u m i n g t h a t c o n g e s t i o n i s a l o c a l
p h e n o m e n a a n d t h a t n o p r o p a g a t i o n o f t r a ffi c c o n d i t i o n s o c c u r s o n t i m e o r s p a c e
( f r o m n o w o n , w e c a l l t h i s t h e l o c a l c o n g e s t i o n a s s u m p t i o n ) . T h i s s i m p l i fi c a t i o n l e a d s
t o c l e a r l y i n c o n s i s t e n t b e h a v i o r – f o r e x a m p l e , t h e c l a s s i c a l S m e e d ’ s p a r a d o x [ S m e e d ,
1 9 6 7 ] i n w h i c h v e h i c l e s d e p a r t i n g l a t e i n a l o w - fl o w c o h o r t c a t c h u p a h i g h - fl o w c o h o r t
t h a t d e p a r t e d e a r l i e r , o v e r t a k e t h e m a n d a r r i v e t o t h e d e s t i n a t i o n b e f o r e t h e m . 3 T o
a l l e v i a t e t h i s p r o b l e m , l i n k p e r f o r m a n c e f u n c t i o n s h a v e b e e n a m e n d e d t o a l l o w t h e
t r a v e l t i m e o f a n e n t e r i n g v e h i c l e t o d e p e n d o n t h e l i n k o u t fl o w s a n d / o r t h e o c c u -
p a n c i e s ( s e e R a n a n d B o y c e [ 1 9 9 6 ] , c h a p t e r 1 2 ) . H o w e v e r , D a g a n z o [ 1 9 9 5 c ] s h o w s
t h e i n c o n s i s t e n c i e s p e r s i s t i n a n y m o d e l w h e r e t r a v e l t i m e d e p e n d s i n a n y w a y o n t h e
i n fl o w s o r o u t fl o w s . A m o d e l t h a t e x p l i c i t l y a c c o u n t s f o r fl o w p r o p a g a t i o n a n d a v o i d s
S m e e d ’ s p a r a d o x i s p r o p o s e d i n M a h m a s s a n i a n d H e r m a n [ 1 9 8 4 ] . I n t h i s m o d e l , d e n -
s i t y a n d s p e e d c h a n g e s i m u l t a n e o u s l y a n d u n i f o r m l y a l o n g t h e l i n k w i t h e v e r y c h a n g e
i n t h e l i n k i n fl o w . U n f o r t u n a t e l y , s u c h a s s u m p t i o n i m p l i e s r a t h e r u n r e a l i s t i c a l l y t h a t
t r a ffi c c o n d i t i o n s p r o p a g a t e i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n i n s t a n t l y ( i . e , t h a t v e h i c l e s p e e d
c o n t i n u e s t o b e a ff e c t e d b y f o l l o w i n g t r a ffi c ) a n d t h i s h a s u n d e s i r a b l e e ff e c t s t o o ; s e e
N e w e l l [ 1 9 8 8 ] .
A m o r e c o n s i s t e n t t r e a t m e n t o f t r a ffi c d y n a m i c s i s o b t a i n e d b y r e p r e s e n t i n g e a c h
l i n k a s a b o t t l e n e c k w i t h a fi x e d c a p a c i t y a n d a d i m e n s i o n l e s s ( o r p o i n t ) q u e u e f o r m -
i n g u p s t r e a m w h e n l i n k i n fl o w e x c e e d s c a p a c i t y ; s e e , f o r i n s t a n c e , K u w a h a r a a n d
N e w e l l [ 1 9 8 7 ] a n d K u w a h a r a a n d A k a m a t s u [ 1 9 9 7 ] . W i t h t h i s a s s u m p t i o n , l i n k t r a v e l
t i m e d e p e n d s e x c l u s i v e l y o n l i n k o c c u p a n c y a t t h e t i m e o f e n t r y . A l t h o u g h t h e s e
m o d e l s d o n o t s u ff e r f r o m S m e e d ’ s p a r a d o x , t h e y s t i l l y i e l d w r o n g p r e d i c t i o n s w h e n
3 N e w e l l [ 1 9 8 8 ] s h o w e d t h a t t h e p a r a d o x n e v e r a r i s e s i f t h e s p e e d o f v e h i c l e s i s a ff e c t e d b y c o n g e s t e d
c o n d i t i o n s a h e a d o f t h e m , a s i n t h e K W m o d e l .
1 . 1 T r a ffi c c o n g e s t i o n a n a l y s i s : s t a t e - o f - t h e - a r t 9
q u e u e s s p i l l o v e r a c r o s s l i n k s ; s e e D a g a n z o a n d L i n [ 1 9 9 4 ] . T h u s , e v e n q u e u i n g m o d e l s
f a i l t o r e p r e s e n t a d e q u a t e l y t h e m a c r o s c o p i c t r a ffi c b e h a v i o r u n d e r h e a v i l y c o n g e s t e d
s i t u a t i o n s .
F o r t u n a t e l y , N e w e l l [ 1 9 9 3 ] r e c e n t l y s h o w e d t h a t t h e K W s o l u t i o n p r o c e d u r e s c a n
b e s i m p l i fi e d d r a m a t i c a l l y i f ( i ) t r a ffi c i s r e p r e s e n t e d i n t e r m s o f c u m u l a t i v e v e h i c l e
c o u n t s ( i n s t e a d o f fl o w s ) a n d , ( i i ) a t r i a n g u l a r f u n d a m e n t a l q - k d i a g r a m i s u s e d . U n -
d e r t h e s e a s s u m p t i o n s , a n a l t e r n a t i v e t r e a t m e n t b a s e d o n s t a n d a r d q u e u i n g t h e o r y
m e t h o d s i s p o s s i b l e , o p e n i n g t h e d o o r f o r t h e a n a l y t i c a l t r e a t m e n t o f s o m e i m p o r -
t a n t p r o b l e m s . D a g a n z o [ 1 9 9 4 , 1 9 9 5 a ] e x t e n d N e w e l l ’ s i d e a s b y i n c l u d i n g c o n s i s t e n t
m o d e l s o f m e r g e a n d d i v e r g e i n t e r a c t i o n a n d a n e ffi c i e n t a p p r o x i m a t i o n p r o c e d u r e
f o r v e r y l a r g e n e t w o r k s ( t h e s o - c a l l e d c e l l t r a n s m i s s i o n m o d e l ) . R e c e n t e m p i r i c a l e v i -
d e n c e [ W i n d o v e r , 1 9 9 8 ] h a s c o n fi r m e d t h a t t h e K W m o d e l c a p t u r e s t h e m a c r o s c o p i c
b e h a v i o r o f q u e u e s q u i t e r e a l i s t i c a l l y a n d p r o v i d e s e s t i m a t e s o f o v e r a l l v e h i c l e d e l a y s
i n a g r e e m e n t w i t h e m p i r i c a l o b s e r v a t i o n s . T h e K W m o d e l i s k n o w n t o h a v e s o m e l i m -
i t a t i o n s , b u t h i g h e r - o r d e r m o d i fi c a t i o n s t o t h e K W m o d e l o r a l t e r n a t i v e m i c r o s c o p i c
m o d e l s b a s e d o n c a r f o l l o w i n g t h e o r y d o n o t n e c e s s a r i l y p r e s e n t a b e t t e r g r o u n d e d
r e p r e s e n t a t i o n o f t r a ffi c [ D a g a n z o , 1 9 9 7 ] a n d h a v e f a i l e d t o p r o v i d e b e t t e r p r e d i c t i o n s
o f t r a v e l t i m e s [ B r o c k f e l d e t a l . , 2 0 0 3 ] .
N e w e l l K W p r o c e d u r e w i l l b e a d o p t e d t h r o u g h o u t t h i s d i s s e r t a t i o n . A d e t a i l e d
e x p l a n a t i o n o f t h e t h e o r y i s g i v e n i n c h a p t e r s 2 a n d 3 .
1 . 1 . 2 N e t w o r k m o d e l s a n d e q u i l i b r i u m
N e t w o r k m o d e l s a r e u s e d t o s i m u l a t e t r a ffi c b e h a v i o r w h e n d i ff e r e n t o r i g i n s a n d
d e s t i n a t i o n s a r e l i n k e d t h r o u g h a s e r i e s o f r o u t e s . T h e s e m o d e l s m u s t r e c o g n i z e
t h a t v e h i c l e fl o w s o n e a c h r o u t e a r e n o t k n o w n a p r i o r i , s i n c e t h e y a r e t h e r e s u l t
1 0 1 I n t r o d u c t i o n
o f c o m m u t e r s ’ t r i p d e c i s i o n s . C o m m u t e r s r e s p o n d t o c o n g e s t i o n b y c h o o s i n g a m o n g
d i ff e r e n t m o d e s , r o u t e s a n d d e p a r t u r e t i m e s . S i n c e t h e f o c u s o f t h i s t h e s i s i n o n r o a d -
t r a ffi c c o n g e s t i o n , w e s h a l l r e s t r i c t t h i s r e v i e w t o m o d e l s t h a t i n c o r p o r a t e r o u t e a n d
d e p a r t u r e t i m e c h o i c e .
T h e c o n c e p t u a l f r a m e w o r k t o a n a l y z e r o u t e c h o i c e u n d e r s t e a d y - s t a t e c o n d i t i o n s
w a s i n t r o d u c e d b y W a r d r o p [ 1 9 5 2 ] . A c c o r d i n g t o W a r d r o p fi r s t p r i n c i p l e , u s e r s c h o o s e
r o u t e s s o a s t o m i n i m i z e t h e i r i n d i v i d u a l t r i p c o s t . T h i s b e h a v i o r l e a d s t o a n e q u i -
l i b r i u m s i t u a t i o n i n w h i c h t h e t r i p c o s t s b e t w e e n e a c h o r i g i n d e s t i n a t i o n ( O D ) p a i r
a r e e q u a l i n a l l u s e d r o u t e s a n d l a r g e r o n t h e r o u t e s n o t u s e d ; i . e . , c o m m u t e r s d o
n o t h a v e a n i n c e n t i v e t o c h a n g e r o u t e s . T h e r e s u l t i n g p a t t e r n i s n o r m a l l y c a l l e d t h e
u s e r e q u i l i b r i u m . T h e u s e r e q u i l i b r i u m d i ff e r s f r o m s y s t e m o p t i m u m p a t t e r n s w h e r e
t h e m i n i m u m t o t a l t r a v e l t i m e i n t h e s y s t e m i s a c h i e v e d a s i f a n o v e r s e e i n g a u t h o r i t y
c o u l d d i r e c t a l l c o m m u t e r s . W a r d r o p ’ s p r i n c i p l e i s a n o v e r s i m p l i fi c a t i o n o f r e a l i t y b e -
c a u s e i t a s s u m e s p e r f e c t i n f o r m a t i o n a n d u t i l i t y - m a x i m i z i n g c o m m u t e r s t h a t b e h a v e
d e t e r m i n i s t i c a l l y , 4 b u t i t i s r e a s o n a b l e a s a fi r s t a p p r o x i m a t i o n f o r r o u g h p l a n n i n g
a n a l y s i s . B e c k m a n n e t a l . [ 1 9 5 6 ] p r o p o s e d a m a t h e m a t i c a l o p t i m i z a t i o n f r a m e w o r k
t o s o l v e W a r d r o p ’ s n e t w o r k e q u i l i b r i u m p r o b l e m u n d e r s t a t i c t r a ffi c c o n d i t i o n s u s i n g
l i n k p e r f o r m a n c e f u n c t i o n s . E x t e n s i o n s o f W a r d r o p ’ s p r i n c i p l e t o s t o c h a s t i c r o u t e
c h o i c e h a v e b e e n p r o v i d e d i n D a g a n z o a n d S h e ffi [ 1 9 7 7 ] . E x t e n s i o n s t h a t c o n s i d e r
m u l t i p l e v e h i c l e c l a s s e s c a n b e f o u n d i n D a f e r m o s [ 1 9 8 0 ] a n d D a g a n z o [ 1 9 8 3 ] . 5
S i n c e t h e s t a t i c m o d e l s a r e n o t v e r y s a t i s f a c t o r y t o r e p r e s e n t s i t u a t i o n s o f h i g h
c o n g e s t i o n a s m e n t i o n e d i n § 1 . 1 . 1 , d y n a m i c t r a ffi c e q u i l i b r i u m h a s b e e n a n a c t i v e a r e a
o f r e s e a r c h f o r t h e l a s t t w o d e c a d e s . D y n a m i c n e t w o r k e q u i l i b r i u m i s b o t h c o n c e p t u -
a l l y a n d c o m p u t a t i o n a l l y m o r e d i ffi c u l t . A fi r s t c o n c e p t u a l c o m p l i c a t i o n s t e m s f r o m
4 W a r d r o p p r i n c i p l e i s a s p e c i a l c a s e o f N a s h e q u i l i b r i u m .
5 F o r a m o r e t h r o u g h r e v i e w o f s t a t i c n e t w o r k m o d e l s s e e P a t r i k s s o n [ 1 9 9 4 ] .
1 . 1 T r a ffi c c o n g e s t i o n a n a l y s i s : s t a t e - o f - t h e - a r t 1 1
t h e f a c t t h a t d i ff e r e n t d e fi n i t i o n s o f e q u i l i b r i u m a r e p o s s i b l e u n d e r d y n a m i c c o n d i -
t i o n s , d e p e n d i n g o n t h e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e t o t h e u s e r s . T h e n a t u r a l g e n e r a l i z a t i o n
o f W a r d r o p p r i n c i p l e a s s u m e s t h a t t h e r o u t e s c h o s e n o n e a c h O D p a i r a t e a c h t i m e
o f d e p a r t u r e a r e t h o s e t h a t m i n i m i z e t h e e x p e r i e n c e d t r i p c o s t ( w h i c h i s n o w t i m e -
d e p e n d e n t ) . T h i s t y p e o f e q u i l i b r i u m , n o r m a l l y t e r m e d i d e a l o r p r e d i c t i v e d y n a m i c
u s e r e q u i l i b r i u m ( P D U E ) , a s s u m e s t h a t t h e d y n a m i c e v o l u t i o n o f t r a ffi c c o n d i t i o n s
i s c o n s i s t e n t d a y - a f t e r - d a y a n d t h e r e f o r e , t h a t u s e r s c a n b e a w a r e ( i . e . , p r e d i c t ) o f
f u t u r e t r a ffi c c o n d i t i o n s a t l i n k s v i s i t e d d o w n s t r e a m w h e n s e l e c t i n g o p t i m a l r o u t e s
a t t h e i r o r i g i n . S m i t h [ 1 9 9 3 ] , W i e e t a l . [ 1 9 9 5 ] , R a n e t a l . [ 1 9 9 6 ] , R a n a n d B o y c e
[ 1 9 9 6 ] , A k a m a t s u a n d K u w a h a r a [ 1 9 9 9 ] , T o n g a n d W o n g [ 2 0 0 0 ] , A k a m a t s u [ 2 0 0 1 ]
a n d H u a n g a n d L a m [ 2 0 0 2 ] p r o v i d e d i ff e r e n t n e t w o r k m o d e l s u n d e r t h i s a s s u m p t i o n .
S i n c e e q u i l i b r i u m r o u t e c h o i c e m u s t b e b a s e d o n f u t u r e t r a ffi c c o n d i t i o n s t h i s t y p e
o f e q u i l i b r i u m p r o b l e m s a r e n o t o r i o u s l y d i ffi c u l t t o s o l v e . E q u i l i b r i u m i s g e n e r a l l y
m o d e l l e d t h r o u g h a s e t o f d i s c r e t e v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s [ W i e e t a l . , 1 9 9 5 ] o r a n
e q u i v a l e n t n o n - l i n e a r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m [ A k a m a t s u , 2 0 0 1 ; R a n e t a l . , 1 9 9 6 ] . I n a l l
c a s e s , l a b o r i o u s n u m e r i c a l s e a r c h p r o c e d u r e s ( e . g . , F r a n k - W o l f - l i k e d e c o m p o s i t i o n )
a r e r e q u i r e d t o s o l v e t h e p r o b l e m . F u r t h e r m o r e , r o u t e e n u m e r a t i o n i s n o r m a l l y u n -
a v o i d a b l e ( w h e n m u l t i p l e d e s t i n a t i o n s e x i s t ) s i n c e i t i s n e c e s s a r y t o k e e p t r a c k o f
fl o w p r o p a g a t i o n a l o n g s p e c i fi c r o u t e s . T h e r e f o r e , s u b s t a n t i a l c o m p u t a t i o n a l e ff o r t i s
r e q u i r e d e v e n f o r m e d i u m s i z e p r o b l e m s . A l t e r n a t i v e l y , s i m u l a t i o n - b a s e d a p p r o a c h e s
c a n b e u s e d [ H u a n g a n d L a m , 2 0 0 2 ; S m i t h , 1 9 9 3 ; T o n g a n d W o n g , 2 0 0 0 ] b u t s t i l l
s o m e s o r t o f h e u r i s t i c i s n e e d e d t o u p d a t e v o l u m e s i n e a c h p a t h u n t i l e q u i l i b r i u m
c o n d i t i o n s a r e a p p r o x i m a t e l y m e t .
A n a l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o n o f e q u i l i b r i u m , n o r m a l l y t e r m e d i n s t a n t a n e o u s o r
r e a c t i v e d y n a m i c u s e r e q u i l i b r i u m ( R D U E ) , a s s u m e s t h a t c o m m u t e r s c h o o s e r o u t e s
1 2 1 I n t r o d u c t i o n
a t e a c h t i m e b a s e d o n t h e c u r r e n t t r a v e l t i m e s p r e v a i l i n g o n t h e n e t w o r k . W o r k s i n
t h i s c l a s s i n c l u d e F r i e s z e t a l . [ 1 9 8 9 ] ( e x t e n d e d i n W i e e t a l . [ 1 9 9 0 ] ) , P a p a g e o r g i o u
[ 1 9 9 0 ] , J a n s o n [ 1 9 9 1 ] , R a n e t a l . [ 1 9 9 3 ] , L a m a n d H u a n g [ 1 9 9 5 ] a n d K u w a h a r a a n d
A k a m a t s u [ 1 9 9 7 ] . T h i s t y p e o f e q u i l i b r i u m i s e a s i e r t o s o l v e s i n c e n o p r e d i c t i o n o f
f u t u r e t r a v e l c o n d i t i o n s i s n e e d e d . F o r e x a m p l e , i f o n e i g n o r e s t h e m u l t i - c o m m o d i t y
c o n t r a i n t s , a s d o n e i n W i e e t a l . [ 1 9 9 0 ] o r P a p a g e o r g i o u [ 1 9 9 0 ] , t h e p r o b l e m c a n t h e n
b e f o r m u l a t e d a s a s t a n d a r d o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m . A b e t t e r a p p r o a c h s o l v e s a
s h o r t e s t p a t h p r o b l e m i n e a c h t i m e i n t e r v a l [ K u w a h a r a a n d A k a m a t s u , 1 9 9 7 ] . F u r -
t h e r m o r e , r o u t e e n u m e r a t i o n i s n o t r e q u i r e d . T h e a s s u m p t i o n a b o u t i n s t a n t a n e o u s
t r a v e l t i m e s , h o w e v e r , i s n o t v e r y r e a l i s t i c w h e n c o m m u t e r s t r i p t i m e s a r e c o m p a r a b l e
i n d u r a t i o n w i t h t h e l e n g t h o f t h e r u s h .
I n a d y n a m i c t r a ffi c s e t t i n g , c o m m u t e r s a l s o r e s c h e d u l e t h e i r d e p a r t u r e t i m e s b a s e d
o n c o n g e s t i o n l e v e l s . A n e c d o t a l e v i d e n c e s u g g e s t s t h a t t h i s s c h e d u l i n g a d a p t a t i o n m a y
h a v e e ff e c t s a s i m p o r t a n t a s r o u t e c h o i c e ; 6 n o t w i t h s t a n d i n g , d y n a m i c e q u i l i b r i u m
m o d e l s t h a t e x p l i c i t l y c o n s i d e r c o m m u t e r d e p a r t u r e t i m e c h o i c e h a v e r e c e i v e d l e s s
a t t e n t i o n , p e r h a p s b e c a u s e d e p a r t u r e t i m e e q u i l i b r i u m i s m o r e d i ffi c u l t t o m o d e l .
A f r a m e w o r k t o a n a l y z e d e p a r t u r e - t i m e c h o i c e w a s fi r s t p r o p o s e d b y V i c k r e y [ 1 9 6 9 ] .
V i c k r e y a s s u m e d t h a t c o m m u t e r s h a v e a p r e f e r r e d t i m e o f a r r i v a l t o t h e i r d e s t i n a t i o n s
a n d s c h e d u l e t h e i r d e p a r t u r e ( o r a r r i v a l ) t i m e s t o a v o i d p e r i o d s o f h i g h c o n g e s t i o n
a t t h e e x p e n s e o f s u ff e r i n g a s c h e d u l e d d e l a y f o r a r r i v i n g e a r l i e r o r l a t e r t h a n d e s i r e d
t o t h e i r d e s t i n a t i o n . S m a l l [ 1 9 8 2 ] p r o v i d e s e m p i r i c a l v e r i fi c a t i o n o f t h i s b e h a v i o r .
V i c k r e y a n a l y z e d e q u i l i b r i u m i n a v e r y s i m p l i fi e d t i m e - d e p e n d e n t s c e n a r i o w i t h a
s i n g l e b o t t l e n e c k , a s i n g l e d e s t i n a t i o n a n d a fi x e d n u m b e r o f c o m m u t e r s ( m o r e d e t a i l s
6 T h e o m i s s i o n o f t i m i n g c h a n g e s c a n l e a d t o i n c o r r e c t p r e d i c t i o n s a b o u t t h e b e n e fi t s o f p o l i c y
m e a s u r e s s u c h a s c o n g e s t i o n p r i c i n g o r c a p a c i t y e x p a n s i o n s . S m a l l [ 1 9 9 2 ] d i s c u s s e s t h e e x a m p l e o f
B A R T o p e n i n g i n S a n F r a n c i s c o .
1 . 1 T r a ffi c c o n g e s t i o n a n a l y s i s : s t a t e - o f - t h e - a r t 1 3
a r e g i v e n i n c h a p t e r 2 ) . V i c k r e y ’ s f r a m e w o r k h a s b e e n i n c o r p o r a t e d i n t o n e t w o r k
m o d e l s w i t h r o u t e c h o i c e i n K u w a h a r a a n d N e w e l l [ 1 9 8 7 ] , B e r n s t e i n e t a l . [ 1 9 9 3 ] , W i e
e t a l . [ 1 9 9 5 ] , R a n e t a l . [ 1 9 9 6 ] a n d H u a n g a n d L a m [ 2 0 0 2 ] . T h e s e m o d e l s i n h e r i t a l l
t h e d i ffi c u l t i e s o f r o u t e - c h o i c e P D U E m o d e l s a n d n e e d t o b e s o l v e d w i t h h e u r i s t i c
a n d / o r s i m u l a t i o n - b a s e d t e c h n i q u e s . 7
A c o m m o n l i m i t a t i o n t o a l l t h e e q u i l i b r i u m m o d e l s a b o v e , h o w e v e r , i s t h a t t h e y
a r e b a s e d o n t r a ffi c m o d e l s t h a t a r e n o t f u l l y c o n s i s t e n t . T h e m o d e l s i n F r i e s z e t
a l . [ 1 9 8 9 ] ; J a n s o n [ 1 9 9 1 ] ; P a p a g e o r g i o u [ 1 9 9 0 ] ; R a n e t a l . [ 1 9 9 3 , 1 9 9 6 ] ; T o n g a n d
W o n g [ 2 0 0 0 ] ; W i e e t a l . [ 1 9 9 0 ] a d o p t s o m e f o r m o f l i n k p e r f o r m a n c e f u n c t i o n ( l i n k
t r a v e l t i m e i s e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f l i n k i n fl o w r a t e , o u t fl o w r a t e a n d / o r v e h i c l e
a c c u m u l a t i o n , d e p e n d i n g o n t h e m o d e l ) . A k a m a t s u [ 2 0 0 1 ] ; B e r n s t e i n e t a l . [ 1 9 9 3 ] ;
H u a n g a n d L a m [ 2 0 0 2 ] ; K u w a h a r a a n d A k a m a t s u [ 1 9 9 7 ] ; K u w a h a r a a n d N e w e l l [ 1 9 8 7 ] ;
S m i t h [ 1 9 9 3 ] a d o p t a n e t w o r k o f p o i n t - q u e u e s b o t t l e n e c k s . A s m e n t i o n e d i n § 1 . 1 . 1 ,
n o n e o f t h e s e r e p r e s e n t a t i o n s i s a s o u n d a p p r o x i m a t i o n f o r t h e s p a t i a l p r o p a g a t i o n
o f c o n g e s t i o n . U n f o r t u n a t e l y , n o m o d e l o f e q u i l i b r i u m h a s c o n v i n c i n g l y i n c o r p o r a t e d
t r a ffi c b e h a v i o r b a s e d o n t h e K W m o d e l y e t . R e c e n t a t t e m p t s c a n b e f o u n d i n L o
[ 1 9 9 9 ] , w h i c h p r o p o s e s a f o r m u l a t i o n f o r t h e i d e a l r o u t e - c h o i c e u s e r e q u i l i b r i u m b a s e d
o n D a g a n z o ’ s c e l l t r a n s m i s s i o n m o d e l ( n o s o l u t i o n a l g o r i t h m i s p r o p o s e d , t h o u g h ) ,
a n d K u w a h a r a a n d A k a m a t s u [ 2 0 0 1 ] , w h i c h p r o p o s e s a n a d - h o c a l g o r i t h m t o s o l v e
t h e r e a c t i v e e q u i l i b r i u m . H o w e v e r , n o m o d e l y e t c o m b i n e s c o m m u t e r d e p a r t u r e t i m e
c h o i c e w i t h t h e K W m o d e l .
7 N o t e t h a t d e p a r t u r e t i m e c h o i c e i s o n l y c o n s i s t e n t w i t h p r e d i c t i v e e q u i l i b r i u m s i n c e i t i s b a s e d
o n t h e a s s u m p t i o n t h a t a r r i v a l s t i m e s a t t h e d e s t i n a t i o n c a n b e p r e d i c t e d .
1 4 1 I n t r o d u c t i o n
1 . 1 . 3 E c o n o m i c a n a l y s i s : r o a d p r i c i n g a n d i n v e s t m e n t
T h e u l t i m a t e o b j e c t i v e o f t r a ffi c p r e d i c t i o n i s c o n t r o l i n g t h e o v e r a l l s y s t e m s o a s
t o a c h i e v e a n e ffi c i e n t u s e o f t h e r o a d i n f r a s t r u c t u r e . T h i s i s s p e c i a l l y i m p o r t a n t i n
t h e c a s e o f r o a d n e t w o r k s s i n c e u s e r s t e n d t o m a k e d e c i s i o n s t a k i n g i n a c c o u n t t h e i r
i n d i v i d u a l t r i p c o s t s , b u t d i s r e g a r d i n g t h e c o s t ( i . e . , d e l a y s ) i m p o s e d o n t o o t h e r r o a d
u s e r s . T h i s “ s e l fi s h ” b e h a v i o r u s u a l l y l e a d s t o m o r e c o n g e s t i o n t h a n w h a t w o u l d
b e o p t i m a l f r o m a s o c i a l p o i n t i f e v e r y b o d y c o o p e r a t e d ( w h a t w e c a l l e d t h e s y s t e m
o p t i m u m ) .
P i g o u [ 1 9 2 0 ] fi r s t b r o u g h t u p t h i s m i s m a t c h a n d f a t h e r e d t h e c o n c e p t o f a c o n -
g e s t i o n t o l l a s a w a y i m p r o v e r o a d u s a g e . S i n c e t h e n , e c o n o m i s t s h a v e l o n g s t u d i e d
t h e p o s s i b i l i t i e s o f r o a d p r i c i n g . E c o n o m i c m o d e l l i n g , t h o u g h , h a s b e e n l a r g e l y b a s e d
o n t h e s t e a d y - s t a t e r e p r e s e n t a t i o n o f t r a ffi c , a s t y p i fi e d b y t h e e a r l y w o r k s o f W a l -
t e r s [ 1 9 6 1 ] a n d M o h r i n g a n d H a r w i t z [ 1 9 6 2 ] . T h e b a s i c p a r a d i g m i s s c h e m a t i z e d i n
F i g u r e 1 . 2 . I t u s e s t h e l i n k p e r f o r m a n c e f u n c t i o n s o f F i g u r e 1 . 1 r e i n t e r p r e t e d a s a n
a v e r a g e t r a v e l c o s t v s . t r a ffi c d e m a n d ( o r n u m b e r o f t r i p s m a d e d u r i n g t h e r u s h h o u r )
c u r v e , A V C ( q ) i n t h e fi g u r e . I n a g r e e m e n t w i t h t h e a s s u m p t i o n o f n e g a t i v e c o n g e s -
t i o n e x t e r n a l i t i e s m a r g i n a l c o s t i s a s s u m e d t o i n c r e a s e w i t h d e m a n d a s i n d i c a t e d b y
M C ( q ) . 8 A t t h e s a m e t i m e , s i n c e t r a ffi c d e m a n d m u s t l o g i c a l l y d e p e n d o n t r a v e l
c o s t , a d o w n - s l o p i n g d e m a n d c u r v e D ( q ) c a n b e d e fi n e d r e fl e c t i n g b o t h t h e i n d i v i d -
u a l a v e r a g e a n d m a r g i n a l v a l u e o f u s i n g t h e r o a d . T h e e q u i l i b r i u m t r a ffi c v o l u m e ,
q U E i s f o u n d a t t h e c r o s s i n g o f t h e d e m a n d c u r v e a n d t h e a v e r a g e c o s t c u r v e . T h i s
e q u i l i b r i u m v o l u m e i s h i g h e r t h a n t h e s o c i a l o p t i m a l u s a g e , q S O , f o u n d a t t h e i n t e r -
s e c t i o n o f t h e m a r g i n a l c o s t c u r v e a n d t h e d e m a n d c u r v e . T o r e e s t a b l i s h t h e s o c i a l
8 C o s t a r e e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f t r a ffi c v o l u m e a s s u m i n g a n h o m o g e n e o u s m o n e t a r y c o s t o f
t i m e a n d c o n s i d e r i n g v e h i c l e o p e r a t i o n c o s t s i n d e p e n d e n t o f t r a ffi c l e v e l . A s i n i t i a l l y p r e s e n t e d b y
W a l t e r s [ 1 9 6 1 ] , t h e c o s t c u r v e a l s o i n c l u d e d a b a c k w a r d b e n d i n g p o r t i o n r e p r e s e n t i n g t h e c o n g e s t e d
b r a n c h o f t h e f u n d a m e n t a l d i a g r a m b u t , i t i s c l e a r t h a t f o r s t e a d y - s t a t e a n a l y s i s t h i s i s n o t a d e q u a t e .
1 . 1 T r a ffi c c o n g e s t i o n a n a l y s i s : s t a t e - o f - t h e - a r t 1 5
o p t i m u m u s a g e l e v e l , a t o l l e q u a l t o t h e d i ff e r e n c e i n a v e r a g e a n d m a r g i n a l c o s t a t
q S O c a n b e i m p o s e d . T h e o p t i m a l i n v e s t m e n t c a n a l s o b e a n a l y z e d s i n c e t h e t r a v e l
c o s t c u r v e d e p e n d s o n t h e r o a d c a p a c i t y l e v e l a n d t h e c o s t o f p r o v i d i n g c a p a c i t y ( i . e . ,
t h e c o n s t r u c t i o n c o s t ) c a n b e r e a s o n a b l y e s t i m a t e d ; s e e M o h r i n g a n d H a r w i t z [ 1 9 6 2 ]
a n d K e e l e r a n d S m a l l [ 1 9 7 7 ] . A b a s i c r e s u l t i s t h a t c o n g e s t i o n t o l l s w i l l c o v e r c o n -
s t r u c t i o n a n d m a i n t e n a n c e c o s t s o v e r t h e l o n g r u n i n t h e p r e s e n c e o f c o n s t a n t r e t u r n s
i n r o a d c o n s t r u c t i o n a n d m a i n t e n a n c e . T h i s s i n g l e r o a d p r i c i n g / i n v e s t m e n t m o d e l
h a s b e e n f u r t h e r e n r i c h e d b y c o n s i d e r i n g u s e r s w i t h d i ff e r e n t v a l u e s o f t i m e s , p o s s i b l e
i n d i v i s i b l e n e s s o n t h e p r o v i s i o n o f c a p a c i t y , e t c . ; s e e H a u [ 1 9 9 8 ] f o r a r e v i e w .
T h i s b a s i c s t a t i c m o d e l c a n b e a l s o e x t e n d e d t o n e t w o r k p r o b l e m s c o n s i d e r i n g
W a r d r o p ’ s u s e r e q u i l i b r i u m a n d s y s t e m o p t i m u m p r i n c i p l e s [ W a r d r o p , 1 9 5 2 ] . U n d e r
t h e a s s u m p t i o n t h a t c o n g e s t i o n o n e a c h l i n k i s a f u n c t i o n o f i t s v o l u m e , t h e s y s t e m
o p t i m u m c a n b e a c h i e v e d b y i m p o s i n g o n e a c h l i n k a n o p t i m a l t o l l o f t h e s a m e f o r m
a s i n t h e s i n g l e r o a d c a s e [ B e c k m a n n e t a l . , 1 9 5 6 ] . N e t w o r k r o a d p r i c i n g m o d e l l i n g
h a s b e e n f u r t h e r e n r i c h e d i n d i ff e r e n t w a y s . F o r i n s t a n c e , m o d e l s h a v e b e e n p r o p o s e d
t o i n c l u d e d i ff e r e n t t y p e s o f u s e r s ( i . e . , t r u c k s , c a r s ) , t o a n a l y z e s e c o n d - b e s t s i t u a t i o n s
w h e r e o n l y a r e d u c e d s e t o f r o a d s i s p r i c e d , a n d t o a n a l y z e s i t u a t i o n s w h e r e o t h e r
m o d e s o f t r a n s p o r t a r e a l s o a v a i l a b l e . R e v i e w s o f t h e s t a t e - o f - t h e - a r t o n n e t w o r k r o a d
p r i c i n g m o d e l s c a n b e f o u n d i n L i n d s e y a n d V e r h o e f [ 2 0 0 0 ] a n d A r n o t t [ 2 0 0 1 ] . T h e
r e l i a n c e o n t h e c l a s s i c a l s t e a d y - s t a t e m o d e l , h o w e v e r , h a s t i l t e d t h e e c o n o m i c a n a l y s i s
t o w a r d s c o n s i d e r i n g t r i p q u a n t i t y a s t h e o n l y f a c t o r o f a n a l y s i s , f o c u s i n g e x c e s s i v e l y
o n p r i c i n g a s t h e o n l y s o l u t i o n ( A r n o t t [ 2 0 0 1 ] o ff e r s a g o o d c r i t i q u e ) .
D y n a m i c s e t t i n g s h a v e r e c e i v e d l e s s a t t e n t i o n . T h e s e m i n a l w o r k i s V i c k r e y [ 1 9 6 9 ]
( a l r e a d y m e t i o n e d a b o v e ) w h e r e p r i c i n g a n d i n v e s t m e n t p o l i c i e s a r e e v a l u a t e d u n -
d e r a t i m e - v a r y i n g c o n g e s t i o n m o d e l r e p r e s e n t e d b y a s i n g l e b o t t l e n e c k q u e u e . A
1 6 1 I n t r o d u c t i o n
q f l o w   ( q ) U E q S O
t o l l
T r a v e l
c o s t
( t t )
A V C ( q )
D ( q ) M C ( q )
F i g u r e 1 . 2 . C o n g e s t i o n p r i c i n g m o d e l .
s i m i l a r d y n a m i c a n a l y s i s i s p r o p o s e d i n H e n d e r s o n [ 1 9 7 7 ] – l a t e r r e v i s i t e d a n d c o r -
r e c t e d i n C h u [ 1 9 9 2 ] – w h e r e a m o d e l o f l o c a l c o n g e s t i o n i s u s e d i n s t e a d . D e s p i t e
i t s h i g h l y i d e a l i z e d n a t u r e , V i c k r e y ’ s b o t t l e n e c k m o d e l u n v e i l e d s o m e i n t e r e s t i n g i n -
s i g h t s p a r t i c u l a r t o t h e d y n a m i c c a s e . F o r i n s t a n c e , u n l i k e i n t h e s t a t i c c a s e w h e r e
c o n g e s t i o n t o l l s a l w a y s p e n a l i z e r o a d u s e r s , a t i m e - d e p e n d e n t t o l l p a y m e n t c a n l e a v e
a l l t h e c o m m u t e r s a s w e l l - o ff a s b e f o r e w h i l e t u r n i n g w a s t e d t i m e i n t h e q u e u e i n t o
t o l l r e v e n u e . V i c k r e y ’ s m o d e l h a s b e e n e x t e n d e d t o d i ff e r e n t s c e n a r i o s ( e . g . , s e v e r a l
p a r a l l e l b o t t l e n e c k s b e t w e e n a s i n g l e O D p a i r , a l t e r n a t i v e m o d e s ) , d i ff e r e n t d e m a n d
a s s u m p t i o n s ( e . g . , e l a s t i c m o d e - d e p e n d e n t d e m a n d , h e t e r o g e n e o u s c o m m u t e r s ) a n d
d i ff e r e n t t i m e - d e p e n d e n t t o l l p o l i c i e s ( e . g . , c o n t i n u o u s t o l l , s t e p t o l l ) ; s e e A r n o t t e t
a l . [ 1 9 9 8 ] f o r a c o m p r e h e n s i v e r e v i e w . M o r e r e c e n t i n n o v a t i o n s i n c l u d e t h e a n a l y s i s o f
m i x e d r a t i o n i n g / p r i c i n g s c h e m e s t h a t p r o v e t o b e P a r e t o i m p r o v i n g f o r a l l r o a d u s e r s
[ D a g a n z o a n d G a r c i a , 2 0 0 0 ] . A l l t h e s e w o r k s a r e a s u b s t a n t i a l a d v a n c e w i t h r e s p e c t
t o t h e t r a d i t i o n a l s t a t i o n a r y a n a l y s i s b u t t h e i r r e s u l t s a r e s o m e h o w l i m i t e d b e c a u s e
t h e y d o n o t e x p l i c i t l y c o n s i d e r s p a t i a l d i ff e r e n c e s – c o n g e s t i o n a ff e c t s a l l c o m m u t e r s
i n a e q u a l m a n n e r i n d e p e n d e n t l y o f t h e i r o r i g i n s a n d d e s t i n a t i o n s .
1 . 1 T r a ffi c c o n g e s t i o n a n a l y s i s : s t a t e - o f - t h e - a r t 1 7
K u w a h a r a [ 1 9 9 0 ] a n d A r n o t t e t a l . [ 1 9 9 3 a ] e x t e n d V i c k r e y ’ s a n a l y s i s t o c o n s i d e r
t w o s e p a r a t e o r i g i n s a n d a s i n g l e d e s t i n a t i o n , b u t t h e p r e d i c t i o n s i n t h e s e w o r k s
a r e b a s e d o n a t r a ffi c m o d e l w i t h p o i n t q u e u e s , w h i c h s t i l l l i m i t s t h e v a l i d i t y o f
t h e r e s u l t s . W i e a n d T o b i n [ 1 9 9 8 ] p r e s e n t a n e t w o r k t r a ffi c e q u i l i b r i u m m o d e l w i t h
d y n a m i c p r i c i n g o n e a c h l i n k , b u t a g a i n t h e i r m o d e l o f t r a ffi c b e h a v i o r d o e s n o t
c o n s i d e r p r o p e r l y q u e u e p r o p a g a t i o n . W o r k t h a t c o m b i n e s d y n a m i c p r i c i n g w i t h
t r a ffi c m o d e l s t h a t a c c o u n t p r o p e r l y f o r q u e u e p r o p a g a t i o n i n s p a c e a n d t i m e a p p e a r s
n o t t o b e d o n e .
1 . 1 . 4 U r b a n l o c a t i o n t h e o r y
A f u r t h e r s t e p o n t h e s t u d y o f c o n g e s t i o n r e c o g n i z e s t h e i n t i m a t e l i n k b e t w e e n
l a n d - u s e p a t t e r n s a n d t r a ffi c c o n g e s t i o n . R e s i d e n t i a l l o c a t i o n c h o i c e s g e n e r a t e a n e e d
f o r m o b i l i t y w h i c h p r o d u c e s c o n g e s t i o n a n d c o n g e s t i o n , i n t u r n , a ff e c t s r e s i d e n t i a l
l o c a t i o n s . B e c a u s e i n d i v i d u a l l o c a t i o n d e c i s i o n s a ff e c t t h e c o s t o f l i v i n g a t o t h e r
l o c a t i o n s t h r o u g h i n c r e a s e d c o n g e s t i o n , a n i n e ffi c i e n t e q u i l i b r i u m d i s t r i b u t i o n o f p o p -
u l a t i o n ( e . g . , w i t h e x c e s s i v e s p r a w l ) m a y a r i s e i f t h e c o n g e s t i o n e x t e r n a l i t y i s n o t
p r o p e r l y i n t e r n a l i z e d t h r o u g h a d e q u a t e p r i c i n g o r l a n d - u s e r e g u l a t i o n s .
T h e fi r s t m o d e l s o f u r b a n l o c a t i o n w h i c h e x p l i c i t l y i n c o r p o r a t e d c o n g e s t i o n w e r e
p r o p o s e d i n M i l l s a n d d e F e r r a n t i [ 1 9 7 1 ] a n d S o l o w [ 1 9 7 3 ] . T h e s e w o r k s t u d y t h e
e ffi c i e n t p r o v i s i o n o f t r a n s p o r t a t i o n i n f r a s t r u c t u r e w h e n c o n g e s t i o n c o s t s a r e p r o p e r l y
i n t e r n a l i z e d . T h e M i l l s / S o l o w f r a m e w o r k a b s t r a c t s f r o m c u m b e r s o m e n e t w o r k f o r m u -
l a t i o n s a n d a s s u m e s a c o n t i n u o u s m o n o - c e n t r i c c i t y w h e r e a d i s t r i b u t e d p o p u l a t i o n
t r a v e l s t o t h e C B D u s i n g a c o n t i n u o u s n e t w o r k o f r a d i a l r o a d s . T o r e p r e s e n t t r a ffi c
b e h a v i o r , a m o d e l o f l o c a l c o n g e s t i o n i s a d o p t e d w h e r e t r a v e l s p e e d i s o n l y a f u n c t i o n
o f t h e l o c a l t r a ffi c v o l u m e a t e a c h l o c a t i o n ( i . e . , t h e n u m b e r o f v e h i c l e s c r o s s i n g t h e
1 8 1 I n t r o d u c t i o n
l o c a t i o n ) a n d i n d e p e n d e n t o f t h e c o n d i t i o n s a t a n y o t h e r l o c a t i o n . A n a l y t i c a l a n d
s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t e x c e s s i v e s p r a w l a n d e x c e s s i v e l a n d d e v o t e d t o t r a n s -
p o r t a t i o n h a p p e n i f c o n g e s t i o n i s n o t p r i c e d a d e q u a t e l y . A v a r i e t y o f w o r k s e x t e n d
t h e M i l l s / S o l o w a n a l y s i s t o i n c l u d e d i ff e r e n t e c o n o m i c a s p e c t s . F o r e x a m p l e , O r o n
e t a l . [ 1 9 7 3 ] , H e n d e r s o n [ 1 9 7 5 ] a n d A r n o t t a n d M a c K i n n o n [ 1 9 7 8 ] p r i m a r i l y f o c u s
o n i n e ffi c i e n c i e s i n l a n d u s e f o r h o u s i n g u n d e r d i ff e r e n t m a r k e t s t r u c t u r e s ; S u l l i v a n
[ 1 9 8 3 a , b ] e x p l i c i t l y c o n s i d e r l a b o r m a r k e t s ; W h e a t o n [ 1 9 9 8 ] c o m p a r e s l a n d r e g u l a t i o n
a n d c o n g e s t i o n p r i c i n g ; A k a i e t a l . [ 1 9 9 8 ] a n a l y z e s e q u i l i b r i u m w h e n t r a n s p o r t a t i o n
i n p r o v i d e d b y a p r i v a t e a g e n t . I n v a r i a b l y , a l l a d o p t t h e l o c a l c o n g e s t i o n m o d e l o f
t r a ffi c .
T h e r e s u l t s i n a l l t h e s e w o r k s m u s t b e r e g a r d e d w i t h c a r e f o r t w o m a i n r e a s o n s ,
h o w e v e r . F i r s t , t h e l o c a l c o n g e s t i o n m o d e l i s h i g h l y u n r e a l i s t i c . A s a r e s u l t , t h e r e l a -
t i o n s h i p b e t w e e n p o p u l a t i o n s p r a w l a n d c o n g e s t i o n a r e q u i t e a r t i fi c i a l . F o r e x a m p l e ,
i t i s e a s y t o s h o w t h a t t h e l e v e l o f c o n g e s t i o n i s d e p e n d e n t o n t h e d i s t a n c e s c a l e ; i . e . ,
i f a l l t h e d i s t a n c e s a r e d o u b l e d , t h e c o n g e s t i o n c o s t a r e d o u b l e d . T h e r e f o r e , r e s u l t s
a b o u t o p t i m a l c i t y s i z e a r e i r r e l e v a n t . S e c o n d , u n d e r t h e s t e a d y - s t a t e r e p r e s e n t a t i o n ,
t h e r e s u l t s a r e a l s o c l e a r l y d e p e n d e n t o n t h e o r d e r a t w h i c h c o m m u t e r s a r e a s s u m e d t o
p a s s t h r o u g h e a c h l o c a t i o n , s i n c e t h i s d e t e r m i n e s l o c a l t r a ffi c v o l u m e s a n d h e n c e t h e
c o n g e s t i o n l e v e l s [ R o s s a n d Y i n g e r , 2 0 0 0 ] . F o r i n s t a n c e , t h e t r a d i t i o n a l M i l l s / S o l o w
a p p r o a c h a s s u m e s t h a t c o m m u t e r s j o i n u p s t r e a m u s e r s a s t h e y p a s s t h r o u g h t h e i r
a c c e s s l o c a t i o n s o t h a t a l l c o m m u t e r s t r a v e l t o g e t h e r a n d a r r i v e t o t h e c o m m o n d e s t i -
n a t i o n a t t h e s a m e t i m e . O n t h e o t h e r h a n d , Y i n g e r [ 1 9 9 3 ] a s s u m e s t h a t c o m m u t e r s
d e p a r t a t t h e s a m e t i m e s o t h a t p e o p l e a t d i ff e r e n t l o c a t i o n t r a v e l i n d i ff e r e n t g r o u p s ,
o r c o h o r t s , a n d a r r i v e a t t h e d e s t i n a t i o n o r d e r e d b y d i s t a n c e t o t h e d e s t i n a t i o n , l e a d -
i n g t o a n e q u i l i b r i u m l o c a t i o n p a t t e r n d i ff e r e n t f r o m t h o s e o f M i l l s a n d S o l o w . T o
1 . 2 D i s s e r t a t i o n o v e r v i e w 1 9
m a k e t i m i n g d e c i s i o n s e n d o g e n o u s , R o s s a n d Y i n g e r [ 2 0 0 0 ] i n c o r p o r a t e s H e n d e r s o n ’ s
m o d e l o f d y n a m i c e q u i l i b r i u m i n t o t h e u r b a n l o c a t i o n p r o b l e m , b u t i t i s c o n c l u d e d
t h a t n o r e a s o n a b l e t i m i n g e q u i l i b r i u m c a n a r i s e . T h i s i s y e t a n o t h e r i n d i c a t i o n t h a t
l o c a l c o n g e s t i o n i s i n a d e q u a t e f o r t h e a n a l y s i s .
I n s u m m a r y , fi n d i n g a n a d e q u a t e w a y o f i n c o r p o r a t i n g a s e n s i b l e m o d e l o f fl o w
p r o p a g a t i o n a n d c o m m u t e r t r i p t i m i n g i n t o t h e e q u i l i b r i u m m o d e l o f u r b a n l o c a t i o n
c o n t i n u e s t o b e a c h a l l e n g e .
1 . 2 D i s s e r t a t i o n o v e r v i e w
1 . 2 . 1 S c o p e
T h e l i t e r a t u r e r e v i e w i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s h o w s t h a t s u b s t a n t i a l e ff o r t h a s
b e e n d e v o t e d t o t h e s t u d y o f c o n g e s t i o n i n v a r i o u s fi e l d s . A l t h o u g h p r o g r e s s h a s b e e n
m a d e i n m a n y a r e a s - s p e c i a l l y i n t h e m o d e l l i n g o f t r a ffi c d y n a m i c s - t h e r e a r e s t i l l
s u b s t a n t i a l n e e d s f o r i m p r o v e m e n t . T h e f o l l o w i n g f o u r n e e d s w i l l b e a d d r e s s e d i n t h i s
t h e s i s :
• M o d e l s o f m o r n i n g c o m m u t e n e e d t o b e t t e r i n c o r p o r a t e c o n g e s t i o n
p r o p a g a t i o n . T h e a v a i l a b l e m o d e l s o f t r a ffi c e q u i l i b r i u m a d o p t u n r e a l i s t i c a s -
s u m p t i o n s a b o u t t r a ffi c b e h a v i o r . E i t h e r t h e y i g n o r e t h e s p a t i a l e ff e c t o f q u e u e s
o r t h e y a s s u m e t h a t c o m m u t e r s a r e n o t s p a t i a l l y d i ff e r e n t i a t e d . I n c o r p o r a t i n g
a r e a l i s t i c m o d e l i n t o t h e n e t w o r k e q u i l i b r i u m a n a l y s i s t h a t c a n c a p t u r e a d e -
q u a t e l y t h e e ff e c t o f p h y s i c a l q u e u e s w i l l h e l p a d d r e s s i n g t h e a f o r e m e n t i o n e d
l i m i t a t i o n s .
• M o d e l s o f m o r n i n g c o m m u t e n e e d t o i n c o r p o r a t e c o m m u t e r s t r i p t i m -
2 0 1 I n t r o d u c t i o n
i n g d e c i s i o n s . I n s i g h t s o n t h e e ff e c t s o f d e p a r t u r e t i m e c h o i c e o n t r a ffi c e q u i -
l i b r i u m p a t t e r n s a r e v e r y l i m i t e d . T h i s i s u n f o r t u n a t e s i n c e t r i p r e s c h e d u l i n g
i s a l i k e l y c o m m u t e r r e a c t i o n t o m a n y p o l i c y m e a s u r e s . S i n c e d e p a r t u r e t i m e
d e c i s i o n s d i ff e r b y l o c a t i o n , i t i s n e c e s s a r y t o e x t e n d t h e a n a l y s i s o f n e t w o r k
p r o b l e m s t o i n c l u d e d e p a r t u r e t i m e c h o i c e .
• M o d e l s o f m o r n i n g c o m m u t e n e e d t o f o c u s o n s t y l i z e d s c e n a r i o s . D y -
n a m i c n e t w o r k e q u i l i b r i u m m o d e l l i n g h a s f o c u s e d e x c e s s i v e l y o n t h e d e v e l o p -
m e n t o f a l g o r i t h m s r a t h e r t h a n o n t h e s t u d y o f s o l u t i o n s ; i . e . , i n t h e q u a l i t a t i v e
b e h a v i o r o f c o n g e s t e d s y s t e m s a s a w h o l e . T h e ‘ a l g o r i t h m i c ’ a p p r o a c h t u r n s
o u t t o b e r a t h e r i n a d e q u a t e t o g u i d e p o l i c y . S o l u t i o n s c a n o n l y b e o b t a i n e d
t h r o u g h c u m b e r s o m e c o m p u t e r - b a s e d s i m u l a t i o n d u e t o t h e c o m p l e x i t y ( a n d
d e t a i l s ) o f n e t w o r k p r o b l e m s . F r o m t h e s e s o l u t i o n s w h i c h a r e o n l y p a r t i c u l a r
t o t h e s c e n a r i o s i m u l a t e d , i t i s v e r y d i ffi c u l t ( i f n o t i m p o s s i b l e ) t o d r a w g e n e r a l
q u a l i t a t i v e i n s i g h t s a b o u t t h e b e h a v i o r o f c o n g e s t i o n , w h i c h w o u l d b e n e c e s s a r y
t o g u i d e t a x a t i o n a n d p o l i c y . S i m p l i fi e d s c e n a r i o s t h a t a l l o w f o r t h e e x p r e s s i o n
o f t h e s y s t e m b e h a v i o r a s a f u n c t i o n o f a f e w s i g n i fi c a n t p a r a m e t e r s a n d l e a d
t o a n a l y t i c a l s o l u t i o n s m a y s h e d m o r e l i g h t a b o u t t h e f u n d a m e n t a l b e h a v i o r o f
c o n g e s t i o n .
• E c o n o m i c t h e o r y o f u r b a n l o c a t i o n n e e d s t o r e v i s i t e d . A s s h o w n i n
§ 1 . 1 . 3 a n d § 1 . 1 . 4 , t h e e c o n o m i c m o d e l s o f c o n g e s t i o n h a v e b e e n l a r g e l y b a s e d
o n s t e a d y - s t a t e a n d l o c a l - c o n g e s t i o n a s s u m p t i o n s . A s a r e s u l t , t h e s e m o d e l s
f a i l t o a d e q u a t e l y r e p r e s e n t t h e t r u e s p a t i a l b e h a v i o r o f c o n g e s t i o n . C o n s i s t e n t
r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e c o s t o f c o n g e s t i o n a n d t h e d i s t r i b u t i o n o f p o p u l a t i o n
n e e d t o b e d e v e l o p e d f r o m r e a l i s t i c t r a ffi c m o d e l s , s u c h a s t h e K W m o d e l , s o
t h a t t h e y c a n b e f u r t h e r u s e d f o r e c o n o m i c a n a l y s i s .
1 . 2 D i s s e r t a t i o n o v e r v i e w 2 1
T h e o b j e c t i v e o f o u r r e s e a r c h i s t o r e l a x a s m u c h a s p o s s i b l e t h e s e f o u r l i m i t a t i o n s .
W e d e v e l o p a g e n e r a l m o d e l o f t h e m o r n i n g c o m m u t e , w h i c h e x p l i c i t l y c o n s i d e r s b o t h
r e a l i s t i c t r a ffi c b e h a v i o r a n d c o m m u t e r s ’ d e p a r t u r e t i m e d e c i s i o n s i n r e s p o n s e t o c o n -
g e s t i o n . I n a d d i t i o n , t h e d e p e n d e n c e o f d e p a r t u r e t i m e d e c i s i o n s a n d t h e d i s t r i b u t i o n
o f p o p u l a t i o n i s e x p l o r e d . W e s e e k t o u s e t h e m o d e l t o d e r i v e q u a l i t a t i v e i n s i g h t s
a b o u t t h e b e h a v i o r o f t r a ffi c i n u r b a n a r e a s t h a t w i l l b e v a l i d i n g e n e r a l . T h e r e f o r e ,
t h e a n a l y s i s w i l l f o c u s o n s e l e c t e d g e o m e t r i e s w h i c h i n c l u d e s y m m e t r i e s t h a t a l l o w
f o r a n a l y t i c a l s o l u t i o n s . M o n o - c e n t r i c c i t i e s , w h e r e c o m m u t e i s b o u n d e x c l u s i v e l y t o
a c e n t r a l b u s i n e s s d i s t r i c t ( C B D ) w i l l b e t h e m a i n f o c u s .
1 . 2 . 2 M a i n c o n t r i b u t i o n s
T h e m a i n c o n t r i b u t i o n s o f t h i s r e s e a r c h i n c l u d e :
• T h e d e v e l o p m e n t o f t h e fi r s t m o d e l o f t r a ffi c e q u i l i b r i u m w h i c h c o m b i n e s d e -
p a r t u r e t i m e c h o i c e a n d a r e a l i s t i c m o d e l o f t r a ffi c fl o w . T h i s m o d e l c o m b i n e s
V i c k r e y ’ s m o d e l o f d e p a r t u r e t i m e c h o i c e w i t h N e w e l l ’ s m o d e l o f t h e K W t h e o r y .
• T h e d e v e l o p m e n t o f a n a n a l y t i c a l p r o c e d u r e t o s o l v e t h e d e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b -
r i u m f o r : ( a ) s i m p l e n e t w o r k w i t h t w o - o r i g i n s , ( b ) m a n y - t o - o n e t r e e n e t w o r k s .
• T h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f t h e e ff e c t s o f r a m p m e t e r i n g a n d c a p a c i t y e x p a n s i o n
w h e n d e p a r t u r e t i m e i s a n i s s u e . T h i s a n a l y s i s r e v e a l s u n e x p e c t e d s i t u a t i o n s
w h e r e r a m p - m e t e r i n g c a n b e b e n e fi c i a l , a n d o t h e r s w h e r e t h e p r o v i s i o n o f m o r e
f r e e w a y c a p a c i t y o r s t o r a g e c a n b e c o u n t e r p r o d u c t i v e .
• T h e s t u d y o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c o n g e s t i o n c o s t a n d p o p u l a t i o n d i s t r i -
b u t i o n f o r m o n o - c e n t r i c c i t i e s . T h i s s t u d y i s b a s e d i n b o t h d i s c r e t e ( n e t w o r k -
b a s e d ) a n d c o n t i n u o u s m o d e l s .
2 2 1 I n t r o d u c t i o n
• T h e d e v e l o p m e n t o f c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s t h a t l i n k c o n g e s t i o n c o s t s t o l o c a -
t i o n a n d s p a t i a l p o p u l a t i o n d i s t r i b u t i o n . T h e s e f o r m u l a e a r e s t r u c t u r a l r e l a -
t i o n s h i p s s i n c e t h e y m a k e e n d o g e n o u s c o m m u t e r s t i m i n g d e c i s i o n s a n d t r a ffi c
d y n a m i c s ; h e n c e , t h e y c a n b e g e n e r a l l y a p p l i e d t o s t u d y o t h e r m o r e g e n e r a l
u r b a n p r o b l e m s .
1 . 2 . 3 O r g a n i z a t i o n
T h e t h e s i s i s o r g a n i z e d i n a s e r i e s o f s e l f - c o n t a i n e d c h a p t e r s . C h a p t e r 2 p r e s e n t s
a fi r s t m o d e l t h a t e x p l i c i t l y c o n s i d e r s t h e m o s t i m p o r t a n t d e t e r m i n a n t s o f c o n g e s t i o n
b e h a v i o r d u r i n g t h e m o r n i n g c o m m u t e : d i ff e r e n t c o m m u t e r o r i g i n s , m e r g e i n t e r a c -
t i o n s a n d q u e u e s p i l l o v e r s . W e e x a m i n e t h e s i m p l e s t p o s s i b l e n e t w o r k ( 2 o r i g i n s a n d
o n e d e s t i n a t i o n ) e x h i b i t i n g t h e t h r e e i m p o r t a n t f e a t u r e s . T h i s m o d e l c a n b e u s e d a s
a b u i l d i n g b l o c k f o r t h e a n a l y s i s o f m o r e c o m p l e x , s i n g l e - d e s t i n a t i o n n e t w o r k s w i t h
d e p a r t u r e - t i m e c h o i c e . C h a p t e r 3 e x t e n d s t h e a n a l y s i s t o t h e c a s e o f a l o n g h o m o -
g e n e o u s f r e e w a y . T h i s m o d e l i s r e l e v a n t s i n c e a l o n g h o m o g e n e o u s f r e e w a y i s t h e
l o g i c a l u n i t o f a n a l y s i s f o r m o n o - c e n t r i c c i t i e s w i t h r i n g - r a d i a l s t r e e t n e t w o r k s . W e
d e v e l o p a n e x a c t a n a l y t i c a l p r o c e d u r e t h a t c a n b e u s e d t o m o d e l m o r n i n g c o m m u t e
t r a ffi c e v o l u t i o n i n l o n g c o r r i d o r s . T h e a n a l y s i s o f c o n g e s t i o n i n m o n o c e n t r i c c i t i e s i s
p r e s e n t e d i n c h a p t e r 4 . B o t h a d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s f o r m u l a t i o n a r e i n v e s t i g a t e d .
G e n e r a l c l o s e d - f o r m s o l u t i o n s a r e p r o p o s e d t h a t a l l o w t h e q u a n t i fi c a t i o n o f c o m m u t -
i n g c o s t s a s a f u n c t i o n o f l o c a t i o n a n d p o p u l a t i o n d i s t r i b u t i o n . T h e f o c u s o f c h a p t e r s
2 , 3 a n d 4 i s o n c o n c e p t s , q u a l i t a t i v e i n s i g h t s a n d p o l i c y a n a l y s i s , r a t h e r t h a n i n
m e t h o d o l o g i e s . F o r t h a t p u r p o s e , w e a d o p t s o m e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s t h a t a l l o w
d i r e c t a n a l y t i c a l t r e a t m e n t ; e . g . , t h a t t h e n e t w o r k s a r e h o m o g e n o u s a n d c o m m u t e r s
h a v e t h e s a m e d e s i r e d a r r i v a l t i m e t o t h e d e s t i n a t i o n . C h a p t e r 5 - w h i c h c a n b e
1 . 2 D i s s e r t a t i o n o v e r v i e w 2 3
c o n s i d e r e d a t e c h n i c a l a d d e n d u m t o t h e p r e v i o u s c h a p t e r s - e x t e n d s t h e a n a l y s i s t o
m o r e g e n e r a l i n s t a n c e s w h e r e t h e n e t w o r k i s n o n h o m o g e n e o u s a n d c o m m u t e r s h a v e
d i ff e r e n t d e s i r e d a r r i v a l t i m e s . T h i s c h a p t e r p r o v i d e s a d d i t i o n a l i n s i g h t a n d d i s c u s s e s
t h e d i ffi c u l t i e s o n e e n c o u n t e r s i n t h e d e s i g n o f s o l u t i o n a l g o r i t h m s f o r t h e m o r n i n g
c o m m u t e p r o b l e m o v e r g e n e r a l n e t w o r k s . F i n a l l y , c h a p t e r 6 p r e s e n t s s o m e c o n c l u s i o n s
a n d d i s c u s s e s p o s s i b l e e x t e n s i o n s o f t h e w o r k i n t h i s t h e s i s .
2 5
C h a p t e r 2
A S i m p l e N e t w o r k M o d e l
Vickrey [ 1969] d e s c r i b e s t h e fi r s t t r a ffi c m o d e l w h e r e c o m m u t e r s c a n a d a p t t h e i r
d e p a r t u r e t i m e t o a v o i d p e r i o d s o f h i g h c o n g e s t i o n . T h e m o d e l i s v e r y s i m p l e –
a s i n g l e b o t t l e n e c k w i t h a fi x e d n u m b e r o f c o m m u t e r s – b u t a l s o v e r y r e v e a l i n g o f
p o s s i b l e p o l i c y a c t i o n s f o r c o n g e s t i o n r e d u c t i o n . B e c a u s e o f i t s a p p e a l a n d s i m p l i c i t y ,
V i c k r e y ’ s m o d e l h a s b e e n e x t e n s i v e l y a n a l y z e d u n d e r d i ff e r e n t d e m a n d a s s u m p t i o n s
[ A r n o t t e t a l . , 1 9 9 3 b ; D a g a n z o , 1 9 8 5 ; H e n d r i c k s o n a n d K o c u r , 1 9 8 1 ; N e w e l l , 1 9 8 7 ;
S m i t h , 1 9 8 4 ] a n d h a s a l s o b e e n a d o p t e d t o a n a l y z e v a r i o u s t o l l p o l i c i e s [ A r n o t t e t a l . ,
1 9 9 0 ; D a g a n z o a n d G a r c i a , 2 0 0 0 ; L a i h , 1 9 9 4 ] . T h e m o d e l , h o w e v e r , o n l y a p p l i e s t o
c a s e s w h e r e c o n g e s t i o n i s c o n c e n t r a t e d a t a s i n g l e l o c a t i o n , a ff e c t i n g a l l c o m m u t e r s
e q u a l l y . T h e s e c o n d i t i o n s a r e v i o l a t e d w h e n t h e a c c e s s n e t w o r k i s i t s e l f c o n g e s t e d .
F o r e x a m p l e , f r e e w a y q u e u e s c a u s e d b y b o t t l e n e c k s o f t e n s p i l l o v e r l o n g d i s t a n c e s
i m p o s i n g d i ff e r e n t p e n a l t i e s o n i t s a c c e s s p o i n t s . O b v i o u s l y , n e t w o r k e ff e c t s s h o u l d
b e i n v e s t i g a t e d .
T h i s c h a p t e r i n t r o d u c e s a n e t w o r k m o d e l t h a t i n t e g r a t e s V i c k r e y ’ s t h e o r y w i t h a
r e a l i s t i c t r a ffi c fl o w m o d e l [ N e w e l l , 1 9 9 3 ] a n d a r e a s o n a b l e m e r g i n g m e c h a n i s m [ D a -
g a n z o , 1 9 9 5 a ] . O u r u l t i m a t e g o a l i s t h e q u a l i t a t i v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e r e l a t i o n s h i p
2 6 2 A S i m p l e N e t w o r k M o d e l
D
B
A
M
( N ) ( A )
( N ( B ) )
l
( , k ) j q m a x
q ( t ) D
q m a x
q m a x
F i g u r e 2 . 1 . H o m o g e n e o u s 2 - o r i g i n n e t w o r k .
a m o n g c o n g e s t i o n , d e p a r t u r e t i m e c h o i c e a n d t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f p o p u l a t i o n
f o r t h e m o r n i n g c o m m u t e , r e c o g n i z i n g t h e n e t w o r k s a r e c o n g e s t e d a n d h a v e d i ff e r e n t
o r i g i n s . W e c o n s i d e r t h e s i m p l e s t n e t w o r k w i t h a l l t h e s e r e l e v a n t c h a r a c t e r i s t i c s . I t
c o n s i s t s o f t w o o r i g i n s , o n e d e s t i n a t i o n a n d t w o l i n k s m e r g i n g i n t o a t h i r d , a s s h o w n
i n F i g u r e 2 . 1 .
T h e c h a p t e r i s s t r u c t u r e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 . 1 i n t r o d u c e s r e l e v a n t b a c k g r o u n d
a n d d i s c u s s e s t h e s i n g l e b o t t l e n e c k ( V i c k r e y ) m o d e l . S e c t i o n 2 . 2 p r e s e n t s t h e e q u i -
l i b r i u m a n d t h e t r a ffi c m o d e l f o r t h e t w o o r i g i n n e t w o r k . S e c t i o n 2 . 3 p r e s e n t s t h e
r e s u l t s . S e c t i o n 2 . 4 c o m p a r e s t h e s o l u t i o n s w i t h t h o s e o b t a i n e d u n d e r p o i n t - q u e u e
a s s u m p t i o n s . F i n a l l y , s e c t i o n 2 . 5 d i s c u s s e s p o l i c y i m p l i c a t i o n s a n d r e l a t e s t h e m t o
e a r l i e r w o r k .
2 . 1 T h e s i n g l e b o t t l e n e c k m o d e l
I t i s c o m m o n l y a s s u m e d t h a t t r a ffi c c o n d i t i o n s d u r i n g t h e m o r n i n g c o m m u t e a r e
s i m i l a r d a y - a f t e r - d a y . C o m m u t e r s , a w a r e o f t h e s e , c h o o s e t h e i r d e p a r t u r e t i m e t o
m i n i m i z e t h e i r i n d i v i d u a l t r i p c o s t , w h i c h c o n s i s t o f a t r i p - t i m e c o m p o n e n t a n d a
2 . 1 T h e s i n g l e b o t t l e n e c k m o d e l 2 7
s c h e d u l e p e n a l t y . T h e l a t t e r i s a s s o c i a t e d w i t h t h e a c t u a l a r r i v a l t i m e a t t h e d e s t i n a -
t i o n r e l a t i v e t o a p r e f e r r e d a r r i v a l t i m e . I n t h e c a s e w h e r e t h e o n l y t r a ffi c r e s t r i c t i o n i s
a s i n g l e b o t t l e n e c k o f c a p a c i t y q D w i t h n o d e l a y e l s e w h e r e , i t i s c u s t o m a r y t o e x p r e s s
c o m m u t e r d e c i s i o n s a s a f u n c t i o n o f t h e p r e f e r r e d p a s s a g e t i m e t h r o u g h t h e b o t t l e n e c k
o r d e a d l i n e . I f w t i s t h e d e a d l i n e f o r t h e c o m m u t e r t h a t p a s s e s t h e b o t t l e n e c k a t t i m e
t a n d w e e x p r e s s c o s t s i n u n i t s o f t r i p t i m e , t h e n t h e t r i p c o s t f o r t h a t c o m m u t e r i s
c =  + p ( t − w t ) , ( 2 . 1 )
w h e r e  i s t h e t r i p t i m e a n d p ( · ) i s a s c h e d u l e p e n a l t y f u n c t i o n s u c h t h a t p ( · )  0 a n d
p ( 0 ) = 0 . I t w i l l b e a s s u m e d h e r e t h a t p ( · ) i s p i e c e w i s e l i n e a r a n d V - s h a p e d , w h e r e e
a n d L a r e t h e p o s i t i v e c o n v e r s i o n r a t e s f o r e a r l i n e s s a n d l a t e n e s s i n t o t r i p t i m e ; i . e . ,
p ( s ) = 8 >
> < >
> :
− e s i f s < 0
L s i f s  0 .
( 2 . 2 )
N o r m a l l y , e a r l i n e s s i s p r e f e r a b l e t o b o t h q u e u i n g a n d l a t e n e s s , i . e . , e < L , e < 1
[ S m a l l , 1 9 8 2 ] . T h e o b j e c t i v e i s t h e n d e t e r m i n i n g a n e q u i l i b r i u m s c h e d u l e o f d e p a r t u r e s
f r o m a s i n g l e o r i g i n s u c h t h a t n o c o m m u t e r / v e h i c l e w o u l d h a v e a n i n c e n t i v e t o c h a n g e
i t s d e p a r t u r e t i m e g i v e n t h e q u e u e s t h a t r e s u l t e d f r o m t h e e q u i l i b r i u m . T h e m o d e l
a l s o a p p l i e s t o m u l t i p l e o r i g i n s i f a l l a c c e s s r o u t e s t o t h e b o t t l e n e c k a r e u n c o n g e s t e d
a n d p a s s t h r o u g h a c o m m o n p o i n t , O ; i . e . , p o i n t O c a n b e m o d e l l e d a s t h e s i n g l e
o r i g i n .
T h e s o l u t i o n c a n b e r e p r e s e n t e d b y m e a n s o f c o n t i n u o u s c u m u l a t i v e p l o t s , a s -
s u m i n g t h a t t h e n u m b e r o f c o m m u t e r s i s s o l a r g e t h a t v e h i c l e s c a n b e t r e a t e d a s a
c o n t i n u o u s v a r i a b l e ; s e e F i g u r e 2 . 2 . W ( t ) e x p r e s s e s t h e c u m u l a t i v e n u m b e r o f c o m -
m u t e r s w i s h i n g t o p a s s t h e b o t t l e n e c k b y t i m e t , a n d i t w i l l b e c a l l e d t h e d e a d l i n e
2 8 2 A S i m p l e N e t w o r k M o d e l
c u r v e . I t w i l l b e a s s u m e d t h a t W ( t ) i s S - s h a p e d , w i t h s l o p e g r e a t e r t h a n t h e c a p a c i t y
q D d u r i n g s o m e i n t e r v a l s o t h a t a q u e u e m u s t n e c e s s a r i l y d e v e l o p . W ( t ) i s a s t e p
f u n c t i o n i f a l l t h e c o m m u t e r s h a v e t h e s a m e d e a d l i n e , a s s h o w n i n F i g u r e 2 . 2 a . T h e n ,
t h e o b j e c t i v e i s fi n d i n g a n e q u i l i b r i u m c u r v e o f c u m u l a t i v e a r r i v a l s a t t h e c o m m o n
p o i n t O , A O ( t ) – o r e q u i v a l e n t l y t h e c u r v e o f c u m u l a t i v e v i r t u a l a r r i v a l s a t t h e b o t -
t l e n e c k , A ( t ) = A O ( t − t O D ) w h e r e t O D i s t h e fi x e d u n c o n g e s t e d t r i p t i m e f r o m O t o
t h e b o t t l e n e c k l o c a t i o n , D . 1 A c c o r d i n g t o s t a n d a r d q u e u i n g a n a l y s i s , t h e c u r v e o f
c u m u l a t i v e d e p a r t u r e s f r o m t h e b o t t l e n e c k , D ( t ) , i s t h e h i g h e s t c u r v e w i t h s l o p e l e s s
t h a n o r e q u a l t o q D s u c h t h a t D ( t )  A ( t ) . 2 U n d e r a F I F O ( fi r s t - i n - fi r s t - o u t ) q u e u e ,
t h e d e l a y  f o r a n y g i v e n v e h i c l e n u m b e r i s t h e h o r i z o n t a l d i s t a n c e b e t w e e n c u r v e s A
a n d D . L i k e w i s e , t h e s c h e d u l e d d e l a y s i s g i v e n b y t h e h o r i z o n t a l d i s t a n c e b e t w e e n
D a n d W i f v e h i c l e s d e p a r t f r o m t h e b o t t l e n e c k i n t h e o r d e r o f t h e i r d e a d l i n e s . I t
i s k n o w n t h a t i f t h e p e n a l t y f u n c t i o n p ( · ) i s c o n v e x a n d c o m m o n t o a l l c o m m u t e r s ,
t h e s o l u t i o n e x i s t s [ S m i t h , 1 9 8 4 ] a n d i s u n i q u e [ D a g a n z o , 1 9 8 5 ] . F u r t h e r m o r e , i n
t h e e q u i l i b r i u m s o l u t i o n , v e h i c l e s d e p a r t f r o m t h e b o t t l e n e c k i n t h e o r d e r o f t h e i r
d e a d l i n e s . A n e x a m p l e o f s u c h e q u i l i b r i u m i s r e p r e s e n t e d i n F i g u r e 2 . 2 b o t h f o r t h e
c a s e w h e n c o m m u t e r s h a v e a c o m m o n d e a d l i n e ( F i g u r e 2 . 2 a ) a n d w h e n t h e y d o n o t
( F i g u r e 2 . 2 b ) . B o t h s o l u t i o n s e x h i b i t a u n i q u e q u e u i n g e p i s o d e w i t h t w o c l e a r l y d i f -
f e r e n t i a t e d p h a s e s . I n t h e fi r s t p h a s e , c o m m u t e r s d e p a r t f r o m t h e b o t t l e n e c k e a r l i e r
t h a n d e s i r e d a n d q u e u i n g d e l a y i n c r e a s e s w i t h v e h i c l e n u m b e r a t a r a t e t h a t p r e c i s e l y
c o m p e n s a t e s f o r t h e r e d u c t i o n i n e a r l i n e s s . T h e r e f o r e , t h e s l o p e o f A ( t ) i s g i v e n b y
q D / ( 1 − e ) . I n t h e s e c o n d p h a s e , c o m m u t e r s d e p a r t f r o m t h e b o t t l e n e c k l a t e r t h a n
1 A vehicle virtual arrival time t o D i s t h e t i m e a t w h i c h t h e v e h i c l e w o u l d h a v e p a s s e d D i f i t
h a d t r a v e l u n h i n d e r e d f r o m O t o D .
2 I n q u e u i n g l i n g o , t h e t e r m s arrivals a n d departures r e f e r t o t h e b o t t l e n e c k . T h e r e f o r e , t h e y h a v e
t h e r e v e r s e m e a n i n g a s s i g n e d t o t h e m i n t h e e c o n o m i c s l i t e r a t u r e w h e r e arrivals to the bottleneck
c o r r e s p o n d t o t h e departures from the origin a n d v i c e - v e r s a .
2 . 1 T h e s i n g l e b o t t l e n e c k m o d e l 2 9
d e s i r e d a n d q u e u i n g t i m e d e c l i n e s w i t h v e h i c l e n u m b e r t o c o m p e n s a t e f o r i n c r e a s i n g
l a t e n e s s p e n a l t i e s . A s a r e s u l t , t h e s l o p e o f A ( t ) i s a l s o g i v e n a n d e q u a l t o q D / ( 1 + L ) .
N o t e t h a t t h e v e h i c l e a r r i v i n g o n t i m e e x p e r i e n c e s t h e h i g h e s t d e l a y a s g i v e n b y t h e
l e n g t h o f s e g m e n t A O , | A O | , i n F i g u r e 2 . 2 . I n t h e s i n g l e d e a d l i n e c a s e o f F i g u r e 2 . 2 a ,
| A O | i s t h e c o m m o n c o s t s u ff e r e d b y a l l c o m m u t e r s .
I f t s a n d t f a r e t h e t i m e s w h e n t h e q u e u e s t a r t s a n d v a n i s h e s , e q u i l i b r i u m r e q u i r e s
| A O | = L t f = − e t s . F u r t h e r m o r e , i f w e u s e N t o d e n o t e t h e n u m b e r o f c o m m u t e r s
w h o q u e u e , t h e n N = q D ( t f − t s ) s i n c e a l l t h e s e c o m m u t e r s d e p a r t w h e n t h e b o t t l e n e c k
i s a t c a p a c i t y . I n t h e s i n g l e d e a d l i n e c a s e , N i s k n o w n ( i . e . , a l l t h e c o m m u t e r s s u ff e r
d e l a y ) , t h e r e f o r e t h e s e t h r e e e q u a t i o n s d e fi n e t h e t h r e e r e m a i n i n g u n k n o w n s : | A O | ,
t s a n d t f . S i n c e t h e s l o p e s o f A ( t ) a b o v e a n d b e l o w A O a r e g i v e n , i t f o l l o w s t h a t
t h e r e i s o n l y o n e p o s s i b l e g e o m e t r y f o r t h e e q u i l i b r i u m c u r v e s . F i g u r e 2 . 2 a s h o w s
t h a t t h e n u m b e r o f c o m m u t e r s d e p a r t i n g e a r l y a t e q u i l i b r i u m i s N L / ( e + L ) a n d
t h e n u m b e r d e p a r t i n g l a t e i s N e / ( e + L ) . O n e c a n a l s o s e e t h a t t h e c o m m o n c o s t
i s | A O | = N e L / ( e + L ) . F i n a l l y n o t e t h a t t h e e q u i l i b r i u m d e l a y f o r a c o m m u t e r
d e p a r t i n g a t t i m e t ,  ( t ) , i s
 ( t ) = 8 >
> < >
> :
| A O | + e t = e ( t − t s ) i f t < 0
| A O | − L t = e ( t f − t ) i f t  0
, ( 2 . 3 )
w h i c h p r e c i s e l y b a l a n c e s t h e s c h e d u l e p e n a l t y a s r e q u i r e d .
C o n s i d e r a t i o n s h o w s t h a t a s i m i l a r g e o m e t r i c p a t t e r n i s a n e q u i l i b r i u m f o r a n y
S - s h a p e d d e a d l i n e c u r v e ; s e e F i g u r e 2 . 2 b . T h e m a i n d i ff e r e n c e i s t h a t i n t h i s c a s e n o t
a l l t h e c o m m u t e r s q u e u e ; t h e r e f o r e , o n e a l s o n e e d s t o fi n d N .
M o s t o f t h e e x i s t i n g l i t e r a t u r e d e a l s w i t h fi x e d - c a p a c i t y b o t t l e n e c k s , b u t t h e a n a l -
y s i s c a n b e e x t e n d e d t o v a r i a b l e c a p a c i t i e s , q D ( t ) . T h e n , t s , t f a n d A ( t ) c a n b e
3 0 2 A S i m p l e N e t w o r k M o d e l
#
q e ) D / ( 1 - q e ) D / ( 1 -
q D q D
A O A O
t s t s
t f t f
N   [ e / ( e + L ) ] N   [ e / ( e + L ) ]
N   [ L / ( e + L ) ] N   [ L / ( e + L ) ]
q / ( 1 + L ) D q D / ( 1 + L )
t t
W( t) W( t)
D( t) D( t)
A( t) A( t)
.
( a )   C o m m o n   d e a d l i n e ( b )   D i f f e r e n t   d e a d l i n e s
#
t s
F i g u r e 2 . 2 . S i n g l e b o t t l e n e c k e q u i l i b r i u m s o l u t i o n ( fi x e d c a p a c i t y ) .
d e t e r m i n e d a s b e f o r e s i n c e ( 2 . 3 ) c o n t i n u e s t o h o l d . T h i s m e a n s t h a t i n a n y e q u i l i b -
r i u m , s u c h a s t h a t s h o w n i n F i g u r e 2 . 3 a , t h e h o r i z o n t a l s e p a r a t i o n b e t w e e n A a n d D
a t # = D ( t ) c o n t i n u e s t o b e g i v e n b y ( 2 . 3 ) . T h e r e f o r e , i f t h e e q u i l i b r i u m d i a g r a m i s
r e s c a l e d v e r t i c a l l y b y m e a n s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n # = D − 1 ( t ) w h i c h m a k e s t h e d e -
p a r t u r e r a t e e q u a l t o 1 a t a l l t i m e s , i . e . , D − 1 ( D ( t ) ) = t , t h e n w e r e c o v e r F i g u r e 2 . 2 a .
T h i s i s s h o w n i n F i g u r e 2 . 3 b . T h e r e - s c a l e d a r r i v a l c u r v e , T ( t ) = D − 1 ( A ( t ) ) , n o w
r e t u r n s t h e d e p a r t u r e t i m e t d ( o n t h e v e r t i c a l a x i s ) a s a f u n c t i o n o f t h e a r r i v a l t i m e
t a ( o n t h e h o r i z o n t a l a x i s ) . W e s h a l l r e f e r t o T ( t ) a s t h e a r r i v a l - d e p a r t u r e s c h e d u l e
c u r v e ( o r A / D c u r v e ) t o d i ff e r e n t i a t e i t f r o m t h e a c t u a l e q u i l i b r i u m a r r i v a l c u r v e ,
A ( t ) . T h e i n v a r i a n c e o f t h e r e s c a l e d d i a g r a m w i t h r e s p e c t t o q D ( t ) w i l l b e c o m e u s e f u l
l a t e r .
I t s h o u l d b e r e m e m b e r e d t h a t t h e s i n g l e b o t t l e n e c k m o d e l d o e s n o t a p p l y i f d e l a y s
e x p e r i e n c e d b y v e h i c l e s e n t e r i n g t h e n e t w o r k a t d i ff e r e n t l o c a t i o n s a r e d i ff e r e n t , a s i s
n o r m a l l y t h e c a s e f o r f r e e w a y n e t w o r k s . U n f o r t u n a t e l y , n o e x i s t i n g m o d e l a d d r e s s e s
2 . 2 T w o - o r i g i n d e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m a n d r e a l i s t i c t r a ffi c b e h a v i o r 3 1
t s
t s
t f
t f
N t
W( t)
A
O
q = 1 D
t ( t ) d
t
t   , t a d
t d
t   ( t ) d a
t a
W( t)
.
.
A O
( a )   E q u i l i b r i u m   s o l u t i o n
( T i m e - d e p e n d e n t   c a p a c i t y )
( b )   R e - s c a l e d   S o l u t i o n
T( t)
A( t)
D( t)
q ( t ) D( t) D
# # ( o r   t )
F i g u r e 2 . 3 . S i n g l e b o t t l e n e c k e q u i l i b r i u m s o l u t i o n ( t i m e - d e p e n d e n t c a p a c i t y ) .
t h e t h r e e k e y e ff e c t s r e q u i r e d t o m o d e l a s i m p l e f r e e w a y : m u l t i p l e o r i g i n s , m e r g i n g
i n t e r a c t i o n s a n d q u e u e s p i l l o v e r s . T h e n e x t s e c t i o n d e s c r i b e s a fi r s t s t e p i n t h i s
d i r e c t i o n .
2 . 2 T w o - o r i g i n d e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m a n d r e -
a l i s t i c t r a ffi c b e h a v i o r
2 . 2 . 1 P r o b l e m f o r m u l a t i o n
W e s h a l l c o n s i d e r h e r e t h e s i m p l e s t n e t w o r k e x h i b i t i n g a l l t h r e e e ff e c t s ; s e e F i g -
u r e 2 . 1 . O n t h i s n e t w o r k , N ( A ) a n d N ( B ) c o m m u t e r s t r a v e l e v e r y d a y f r o m o r i g i n s A
a n d B t o a c o m m o n d e s t i n a t i o n D . T h e r o u t e s f r o m t h e s e o r i g i n s m e r g e a t a n i n t e r -
m e d i a t e l o c a t i o n , M , a n d s h a r e a fi n a l l i n k M D o f l e n g t h ` . A b o t t l e n e c k o f ( p o s s i b l y
3 2 2 A S i m p l e N e t w o r k M o d e l
t i m e - d e p e n d e n t ) c a p a c i t y q D ( t ) m a y e x i s t j u s t u p s t r e a m o f D a n d q u e u e s m a y f o r m
o n t h e c o m m o n l i n k a n d s p i l l o v e r t h e m e r g e . 3 F o r s i m p l i c i t y , w e a s s u m e t h a t : ( 1 )
t h e n e t w o r k i s h o m o g e n e o u s ( i . e . i t s t h r e e l i n k s h a v e t h e s a m e c h a r a c t e r i s t i c s ) , ( 2 )
a l l c o m m u t e r s h a v e t h e s a m e d e a d l i n e a n d p e n a l t y f u n c t i o n ( i . e . , c o m m u t e r s a r e o n l y
d i s t i n g u i s h a b l e b y t h e i r o r i g i n ) . G e n e r a l i z a t i o n s f o r n e t w o r k s w i t h n o n - h o m o g e n e o u s
l i n k s a n d d i ff e r e n t d e a d l i n e s a r e d i s c u s s e d i n c h a p t e r 5 . 4
W e e x p r e s s o u r s o l u t i o n i n t e r m s o f o r i g i n - s p e c i fi c c u m u l a t i v e i n fl o w s ( o r c u m u l a -
t i v e d e p a r t u r e s f r o m e a c h o r i g i n ) a n d c u m u l a t i v e o u t fl o w s f r o m p o i n t D ( o r a r r i v a l s
t o t h e d e s t i n a t i o n ) . W e c a n i g n o r e f r e e - fl o w t r i p t i m e s i n o u r a n a l y s i s , s i n c e t h o s e a r e
fi x e d f o r e a c h o r i g i n a n d i n d e p e n d e n t o f t h e t i m e o f a r r i v a l . I n t h i s c a s e , t h e s o l u t i o n
i s d e fi n e d b y t h e c u r v e s { A ( r ) ( t ) , r = A , B } , w h i c h r e p r e s e n t t h e v i r t u a l c u m u l a t i v e
a r r i v a l s a t p o i n t D f o r e a c h o r i g i n – i n s t e a d o f t h e a c t u a l c u m u l a t i v e d e p a r t u r e c u r v e s
f r o m o r i g i n s A a n d B – a n d { D ( r )
D ( t ) , r = A , B } , t h e c u m u l a t i v e d e p a r t u r e s f r o m D .
( F r o m n o w o n , s u p e r s c r i p t s i d e n t i f y t h e o r i g i n t o w h i c h t h e v a r i a b l e o r f u n c t i o n r e f e r s ,
w h i l e s u b s c r i p t s r e f e r t o t h e p h y s i c a l l o c a t i o n o v e r w h i c h t h e v a r i a b l e o r f u n c t i o n i s
d e fi n e d . F u r t h e r m o r e , a ( r ) a n d d ( r )
D r e p r e s e n t t h e t i m e - d e r i v a t i v e s o r fl o w s r e s p e c -
t i v e l y ; e . g , d ( r )
D ( t ) i s t h e fl o w a t D o f c o m m u t e r s f r o m o r i g i n r . ) D e l a y s – i n s t e a d o f
a c t u a l t r a v e l t i m e s - a r e g i v e n b y t h e h o r i z o n t a l s e p a r a t i o n b e t w e e n A ( r ) a n d D ( r )
D ;
i . e . ,  ( r ) = t − A ( r ) − 1
( D ( r )
D ( t ) ) . T h e a c t u a l d e p a r t u r e c u r v e s f r o m t h e o r i g i n s c a n b e
o b t a i n e d b y s h i f t i n g t h e v i r t u a l c u r v e s b a c k i n t i m e b y t h e o r i g i n - s p e c i fi c f r e e - fl o w t r i p
t i m e s ; i . e . , A ( r )
r ( t ) = A ( r ) ( t + ` r D / v f ) w h e r e ` r D i s t h e t o t a l d i s t a n c e f r o m o r i g i n r t o
p o i n t D a n d v f t h e f r e e - fl o w s p e e d . A c t u a l t r i p t i m e s a r e g i v e n b y  ( r )
r D =  ( r ) + ` r D / v f .
A p o s s i b l e a s s i g n m e n t p a t t e r n ( n o t n e c e s s a r i l y i n e q u i l i b r i u m ) i s p r e s e n t e d i n
3 T h e fl o w r e s t r i c t i o n c o u l d b e d u e t o a v a r i a b l e i n fl o w f r o m a n o t h e r r a m p ( n o t d e p i c t e d i n
F i g u r e 2 . 1 ) v e r y c l o s e t o D .
4 A s u m m a r y o f t h e n o t a t i o n u s e d i n t h i s c h a p t e r a n d t h r o u g h o u t t h e d i s s e r t a t i o n c a n b e f o u n d
i n a p p e n d i x B .
2 . 2 T w o - o r i g i n d e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m a n d r e a l i s t i c t r a ffi c b e h a v i o r 3 3
F i g u r e 2 . 4 . T h e t w o o r i g i n - s p e c i fi c d i a g r a m s o f F i g u r e 2 . 4 a c a n b e c o n v e n i e n t l y s u -
p e r i m p o s e d , b y a d d i n g v e h i c l e n u m b e r s , t o a n a l y z e t h e t r a ffi c b e h a v i o r o n l i n k M D
a s s h o w n i n F i g u r e 2 . 4 b . T h e c u r v e s D M a n d D D r e p r e s e n t t h e a c t u a l d e p a r t u r e
c u r v e s f r o m M a n d D , r e s p e c t i v e l y . T h e p r o p o r t i o n o f d e p a r t u r e s b y o r i g i n a t t i m e
t i s d e fi n e d a s  ( r )
D ( i . e . , d ( r )
D ( t ) =  ( r )
D ( t ) d D ( t ) ) . U n d e r F I F O c o n d i t i o n s , t h e d e l a y s
e x p e r i e n c e d i n l i n k M D ,  M D – g i v e n b y t h e h o r i z o n t a l d i s t a n c e b e t w e e n D M a n d D D
– m u s t b e e q u a l f o r b o t h o r i g i n s . F u r t h e r m o r e , t h e p r o p o r t i o n o f v e h i c l e s d e p a r t i n g
f r o m D m u s t b e t h e s a m e w h e n t h e v e h i c l e s p a s s e d M , i . e . ,  ( r )
M ( t −  M D ( t ) ) =  ( r )
D ( t ) .
F i n a l l y , i t i s c o n v e n i e n t t o c o n s i d e r t h e r e - s c a l e d o r i g i n - s p e c i fi c A / D c u r v e s T ( A ) a n d
T ( B ) c o n s t r u c t e d a s e x p l a i n e d i n § 2 . 1 s i n c e t h e s e c u r v e s a l l o w r e c o v e r i n g t h e a c t u a l
e x p e r i e n c e d d e l a y s . T o t a l d e l a y s a r e g i v e n b y t h e h o r i z o n t a l d i s t a n c e b e t w e e n T ( r )
a n d D D ; d e l a y s i n e a c h a p p r o a c h u p s t r e a m o f t h e m e r g e b y t h e h o r i z o n t a l d i s t a n c e
b e t w e e n T ( r ) a n d D M . W e w i l l m a k e e x t e n s i v e u s e o f t h i s c o n s t r u c t i o n w h e n a n a l y z i n g
t h e s o l u t i o n s .
2 . 2 . 2 T r a ffi c d y n a m i c s
T h e e q u i l i b r i u m s o l u t i o n s m u s t t h e n b e c o n s i s t e n t w i t h b o t h l i n k a n d n o d e d y -
n a m i c s . B a s i c a l l y , t h e t w o p h e n o m e n a t h a t a ff e c t t h e t r a ffi c s o l u t i o n a r e t h e q u e u i n g
b e h a v i o r o n l i n k M D a n d t h e m e r g e i n t e r a c t i o n s . T r a ffi c i n l i n k M D i s m o d e l l e d a s
i n t h e s i m p l i fi e d k i n e m a t i c w a v e ( K W ) t h e o r y p r o p o s e d i n N e w e l l [ 1 9 9 3 ] . A c c o r d i n g
t o t h e t h e o r y , t r a ffi c o b e y s a t r i a n g u l a r f u n d a m e n t a l r e l a t i o n s h i p l i n k i n g fl o w q w i t h
d e n s i t y k d e fi n e d b y t h r e e p a r a m e t e r s : a fi x e d f r e e - fl o w s p e e d ( v f ) , a m a x i m u m fl o w
o r c a p a c i t y ( q m a x ) a n d a j a m d e n s i t y ( k j ) ; 5 s e e F i g u r e 2 . 5 a . N e w e l l s h o w s t h a t t h e
d e l a y - b a s e d t r a ffi c p r o b l e m c a n b e s o l v e d a s a s t a n d a r d p r o b l e m w i t h t h e m o d i fi e d
5 J o i n t l y t h e y d e fi n e a w a v e s p e e d w w h i c h r e p r e s e n t s t h e u n i q u e s p e e d a t w h i c h fl o w d i s t u r b a n c e s
p r o p a g a t e u p s t r e a m w i t h i n a m o v i n g q u e u e .
3 4 2 A S i m p l e N e t w o r k M o d e l
t ( A )
t ( A )
t ( B )
t ( B )
t M D t M D
A ( A)
A ( B) T ( t) ( A)
T ( t) ( B)
D M
( A)
D M
( B)
D ( t) M
D D
( A)
D D
( B)
D ( t) D
( a )   O r i g i n - s p e c i f i c   a s s i g n m e n t ( b )   A g g r e g a t e d   r e - s c a l e d   a s s i g n m e n t
#
t
F i g u r e 2 . 4 . T r a ffi c a s s i g n m e n t w i t h 2 o r i g i n s . C u m u l a t i v e p l o t r e p r e s e n t a t i o n .
f u n d a m e n t a l d i a g r a m o f F i g u r e 2 . 5 b , w h i c h h a s t h e s a m e q m a x a n d k j b u t v f = 1 .
T h e t r a ffi c m o d e l i s c o m p l e t e d b y d e fi n i n g h o w v e h i c l e s i n t e r a c t a t t h e m e r g e . W e
w i l l u s e t h e r u l e s i n D a g a n z o [ 1 9 9 5 a ] . T h e s e a r e d e p i c t e d i n F i g u r e 2 . 5 c a n d e x p l a i n e d
l a t e r .
P h y s i c a l q u e u e s d y n a m i c s : T h e d e l a y s i n l i n k M D m u s t b e p r e d i c t e d s i n c e w e
m u s t g u a r a n t e e t h a t c o m m u t e r s f r o m d i ff e r e n t o r i g i n s p a s s i n g M a t t h e s a m e t i m e
i n c u r t h e s a m e d e l a y o n l i n k M D ( i . e . , q u e u e s a r e F I F O ) . P h y s i c a l q u e u e a r e r e l e v a n t
i n l i n k M D s i n c e t h e c o m m o n d e l a y s o n t h e l i n k d e p e n d o n t h e q u e u e s p i l l i n g o v e r
t h e m e r g e s e c t i o n o r n o t . F o r l i n k s A M a n d B M , p h y s i c a l q u e u e s a r e n o t a n i s s u e
b e c a u s e t h e d e l a y s s u ff e r e d i n t h e s e l i n k s a r e a l w a y s c o m m o n t o a l l t h e c o m m u t e r s
f r o m t h e s a m e o r i g i n .
A c c o r d i n g t o N e w e l l , a c a p a c i t y c u r v e a t M , D D M
, i s d e fi n e d f r o m t h e d e p a r t u r e
c u r v e a t D , D D , b y t h e s h i f t ,
2 . 2 T w o - o r i g i n d e p a r t u r e - t i m e e q u i l i b r i u m a n d r e a l i s t i c t r a ffi c b e h a v i o r 3 5
q m a x
q m a x q M
q
q ’
k
k ’
- w
- w ’ = - / k j q m a x
v f
k j
k j
( a )   O r i g i n a l   q - k   d i a g r a m
( c )   M e r g e   q - k   m o d e l
( b )   T r a n s f o r m e d   q - k   d i a g r a m
= ¥ f v
q u e u e s
a t A
q u e u e s
a t   B
n o
q u e u e s
1
a a ( A ) / ( B )
( B )
M d
( A )
M d
F i g u r e 2 . 5 . T r a ffi c fl o w m o d e l a n d m e r g e m o d e l [ N e w e l l , 1 9 9 3 ] .
D D
M ( t ) = D D ( t −
k j
q m a x
` ) + k j ` ( 2 . 4 )
T h i s c a p a c i t y c u r v e t r a c k s t h e e ff e c t s o f t h e b a c k w a r d m o v i n g q u e u e o n t h e e n t r a n c e
o f l i n k M D a n d s e t s a n u p p e r b o u n d t o t h e c u m u l a t i v e n u m b e r o f c o m m u t e r s t h a t
c a n p a s s M b y t i m e t ; s e e F i g u r e 2 . 6 . T h e a c t u a l c u m u l a t i v e c u r v e o f v e h i c l e s p a s s -
i n g t h r o u g h M , D M ( t ) , i s t h e l o w e r e n v e l o p e o f D D M
a n d t h e c u m u l a t i v e n u m b e r o f
c o m m u t e r s w h o w o u l d h a v e p a s s e d M i n t h e a b s e n c e o f a q u e u e , w h i c h i s d e t e r m i n e d
b y u p s t r e a m d e m a n d . I n o u r c a s e , t h e u p s t r e a m b e h a v i o r d e p e n d s o n t h e m e r g e
b e h a v i o r .
M e r g e i n t e r a c t i o n s : T h e fl o w s f r o m t h e t w o a p p r o a c h e s m u s t s h a r e t h e d o w n s t r e a m
c a p a c i t y a c c o r d i n g t o s o m e p r e - s p e c i fi e d m e r g i n g r u l e s . D a g a n z o [ 1 9 9 5 a , 1 9 9 6 ] p r o -
p o s e s t h a t t h e u p s t r e a m fl o w s f r o m e a c h m e r g i n g a p p r o a c h – d ( A )
M , d ( B )
M – m u s t b e a
3 6 2 A S i m p l e N e t w o r k M o d e l
f u n c t i o n o f t h e c a p a c i t y o f t h e u p s t r e a m a p p r o a c h e s ( i . e . , q m a x ) , t h e a v a i l a b l e c a p a c -
i t y d o w n s t r e a m ( q M ) a n d s o m e a p p r o a c h - s p e c i fi c p r i o r i t y r a t i o – ˜  ( A ) , ˜  ( B ) – w h e r e
˜  ( A ) + ˜  ( B ) = 1 . F o r t h e c a s e o f i n t e r e s t h e r e w h e r e t h e ( t i m e - d e p e n d e n t ) d o w n s t r e a m
c a p a c i t y i s g i v e n b y q M ( t ) = d D
M ( t ) < q m a x , t h e u p s t r e a m a p p r o a c h c a p a c i t i e s d o n o t
p l a y a r o l e a n d t h e r u l e s r e d u c e t o t h e f o l l o w i n g t w o :
( 1 ) d u r i n g p e r i o d s w h e n t h e r e a r e n o q u e u e s u p s t r e a m o f M , a r r i v a l fl o w s e q u a l
d i s c h a r g e fl o w s a n d d M = d ( A )
M + d ( B )
M  q M ( t ) ;
( 2 ) w h e n t h e r e i s a q u e u e o n a p p r o a c h r , t h e n d M = q M ( t ) a n d t h e d e p a r t u r e r a t i o
 ( r )
M  d ( r )
M / d M  ˜  ( r ) .
I t f o l l o w s f r o m ( 2 ) t h a t w h e n t h e r e i s a q u e u e i n b o t h a p p r o a c h e s , t h e n d ( A )
M / d ( B )
M =
˜  ( A ) / ˜  ( B ) . T h e s e r u l e s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 . 5 c . A m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f
t h e d y n a m i c s o f t h e m e r g e s e c t i o n f o r m o r e g e n e r a l c a s e s c a n b e f o u n d i n D a g a n z o
[ 1 9 9 5 a , 1 9 9 6 ] a n d i n c h a p t e r 3 , § 3 . 2 .
D e l a y - b a s e d r e p r e s e n t a t i o n : I n o u r c a s e , i t i s c o n v e n i e n t t o e x p r e s s a l l t h e t r a ffi c
f