ISSN 1055- 1425
December 2008
This work was performed as part of the California PATH Program of the
University of California, in cooperation with the State of California Business,
Transportation, and Housing Agency, Department of Transportation, and the
United States Department of Transportation, Federal Highway Administration.
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Final Report for Task Order 5328
CALIFORNIA PATH PROGRAM
INSTITUTE OF TRANSPORTATION STUDIES
UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY
A Low- cost Wireless MeMS System for
Measuring Dynamic Pavement Loads
UCB- ITS- PRR- 2008- 36
California PATH Research Report
Pravin Varaiya
CALIFORNIA PARTNERS FOR ADVANCED TRANSIT AND HIGHWAYS
A l o w - c o s t w i r e l e s s M e M S s y s t e m f o r m e a s u r i n g d y n a m i c
p a v e m e n t l o a d s
F i n a l R e p o r t f o r P A T H T a s k O r d e r 5 3 2 8
P r a v i n V a r a i y a
U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0 - 1 7 7 0
T e l : ( 5 1 0 ) 6 4 2 - 5 2 7 0 , F a x : ( 5 1 0 ) 6 4 2 - 7 8 1 5
v a r a i y a @ e e c s . b e r k e l e y . e d u
A b s t r a c t
W o r k d o n e u n d e r t h i s  I n n o v a t i v e P r o p o s a l  m a y b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s . A
c l o s e d - f o r m s e r i e s s o l u t i o n i s p r o v i d e d f o r t h e d i s p l a c e m e n t o f a p a v e m e n t l o a d e d b y a
t r u c k m o d e l e d a s a n E u l e r b e a m w i t h e l a s t i c f o u n d a t i o n u n d e r a m o v i n g l o a d . A m e t h o d
i s d e v e l o p e d t o e s t i m a t e t h e l o a d b a s e d o n a c c e l e r o m e t e r m e a s u r e m e n t s . L a s t l y , i t w a s
f o u n d t h a t t h e m e a s u r e m e n t s y s t e m t h a t w e b u i l t w a s n o t s u i t e d f o r t h e p r o b l e m a t
h a n d b e c a u s e t h e a c c e l e r o m e t e r b a n d w i d t h w a s t o o h i g h a n d t h e s y s t e m c o u l d n o t i s o l a t e
t h e a c c e l e r o m e t e r f r o m a m b i e n t n o i s e . T h i s l e d t o a n e w m e a s u r e m e n t s y s t e m d e s i g n .
H o w e v e r , t h a t d e s i g n c o u l d n o t b e b u i l t b e c a u s e o f t h e l i m i t e d r e s o u r c e s a v a i l a b l e .
K e y w o r d s : w e i g h i n m o t i o n , p a v e m e n t i m p a c t , t r u c k w e i g h t , a c c e l e r o m e t e r m e a s u r e m e n t s ,
E u l e r b e a m
E X E C U T I V E S U M M A R Y
T h e o b j e c t i v e o f t h i s i n n o v a t i v e p r o j e c t w a s t o d e s i g n , b u i l d , a n d c o n d u c t a ` a p r o o f o f
c o n c e p t ' t e s t o f a n e x p e r i m e n t a l W I M s y s t e m b a s e d o n a r a d i c a l l y d i  e r e n t a p p r o a c h t h a n
c u r r e n t W I M s y s t e m s . T h e a p p r o a c h r e l i e d o n t w o i d e a s :
1 . S i n g l e - o r d o u b l e - a x i s M e M S a c c e l e r o m e t e r s c a n d i r e c t l y m e a s u r e t h e v i b r a t i o n ( a c -
c e l e r a t i o n ) o f t h e p a v e m e n t w h e r e t h e a c c e l e r o m e t e r s a r e l o c a t e d . T h e v i b r a t i o n i s
r e l a t e d t o t h e i n s t a n t a n e o u s , d y n a m i c l o a d o n t h e p a v e m e n t b y t h e p a s s a g e o f a t r u c k
i n t h e v i c i n i t y o f t h e a c c e l e r o m e t e r s .
2 . T h e m e a s u r e m e n t s c a n b e p r o c e s s e d t o  l t e r o u t n o i s e a n d t o e x t r a c t i m p o r t a n t f e a -
t u r e s o f t h e d y n a m i c l o a d .
T h e p r o j e c t w a s o n l y p a r t i a l l y s u c c e s s f u l . A s s h o w n i n t h e a t t a c h e d r e p o r t , w e c a n  n d
a c l o s e d - f o r m s e r i e s s o l u t i o n o f t h e d i s p l a c e m e n t o f a n E u l e r b e a m w i t h e l a s t i c f o u n d a t i o n
u d n e r a m o v i n g l o a d . B a s e d o n t h a t s o l u t i o n w e p r o p o s e d a l g o r i t h m s t o p r o c e s s t h e a c -
c e l e r o m e t e r m e a s u r e m e n t s t o e s t i m a t e t h e f o r c e o n t h e p a v e m e n t p l a c e d b y a m o v i n g t r u c k .
A n a l y s i s a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s s t r o n g l y i n d i c a t e t h a t t h e t w o i d e a s a b o v e a r e f r u i t f u l .
U n f o r t u n a t e l y , t h e p r o t o t y p e s y s t e m t h a t w a s b u i l t w a s u n a b l e t o m e a s u r e p a v e m e n t v i b r a -
t i o n s w i t h s u  c i e n t a c c u r a c y . T h e r e w e r e t w o d i  c u l t i e s . F i r s t , w e w e r e u n a b l e t o i s o l a t e
t h e s e n s o r f r o m a m b i e n t n o i s e w h o s e m a g n i t u d e t u r n e d o u t t o b e m u c h l a r g e r t h a n t h e
` s i g n a l '  t h e p a v e m e n t a c c e l e r a t i o n s . S e c o n d , t h e b a n d w i d t h o f t h e a c c e l e r o m e t e r t h a t w e
u s e d w a s m u c h l a r g e r t h a n t h a t o f t h e s i g n a l , w h i c h f u r t h e r r e d u c e d t h e s i g n a l - t o - n o i s e r a t i o .
T h e p r o j e c t d i d n o t h a v e e n o u g h r e s o u r c e s t o r e d e s i g n t h e s e n s o r s y s t e m .
N e v e r t h e l e s s , t h e r e s u l t s a r e s o e n t i c i n g t h a t w e a r e p u r s u i n g a d e  n i t i v e t e s t o f o u r i d e a s .
2
A n I d e n t i  c a t i o n P r o b l e m f o r a n E l a s t i c B e a m W i t h M o v i n g L o a d 
R a m R a j a g o p a l , A l e x a n d e r B . K u r z h a n s k y a n d P r a v i n V a r a i y a
U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0 - 1 7 7 0 , U S A
f r a m r , k u r z h a n s , v a r a i y a g @ e e c s . b e r k e l e y . e d u
O c t o b e r 2 2 , 2 0 0 8
1 I n t r o d u c t i o n
W e i g h i n g s t a t i o n s a l o n g t h e h i g h w a y a r e u s e d t o c h e c k t r u c k w e i g h t s . T h e s e s t a t i o n s r e q u i r e
s e p a r a t e a r e a s a l o n g t h e h i g h w a y w h e r e t r u c k s s t o p b e t o w e i g h e d . D u e t o t h e i r h i g h c o s t a n d
a l s o o p e r a t i o n a l i s s u e s , s u c h a s r e q u i r i n g t r u c k s t o r e d u c e s p e e d a n d q u e u e u p f o r s o m e t i m e , s u c h
s t a t i o n s a r e s c a r c e . I n W e i g h t I n M o t i o n S t a t i o n s ( W I M ) t r u c k s c a n b e w e i g h e d a s t h e y s l o w l y
m o v e a l o n g [ 2 ] . T h i s t e c h n o l o g y i s d e p l o y e d i n r o a d s i d e w e i g h i n g s t a t i o n s a s a r e p l a c e m e n t t o
t r a d i t i o n a l w e i g h - i n s t a t i o n s .
T r a d i t i o n a l s t a t i o n s u s e b e n d i n g p l a t e , p i e z o e l e c t r i c , o r l o a d c e l l s e n s o r s t o m e a s u r e t h e v e r t i c a l
f o r c e s a p p l i e d b y a x l e s t o s e n s o r s [ 2 ] . T h e s t a t i o n s r e q u i r e a c o n t r o l l e d e n v i r o n m e n t a n d c o n t i n u -
o u s c a l i b r a t i o n t o r e l i a b l y e s t i m a t e s t a t i c a x l e l o a d s . A d d i t i o n a l c a l c u l a t i o n s a r e t h e n p e r f o r m e d
t o t r a n s f o r m t h e s t a t i c a x l e l o a d e s t i m a t e s i n t o t h e d y n a m i c l o a d t h a t t h e p a v e m e n t a c t u a l l y e x -
p e r i e n c e s . T h e l a t t e r c a l c u l a t i o n s a r e b a s e d o n m o d e l s o f v e h i c l e - p a v e m e n t i n t e r a c t i o n s . T h e s e
i n t e r a c t i o n m o d e l s a r e r a r e l y i f e v e r c a l i b r a t e d f o r i n d i v i d u a l W I M s t a t i o n s . [ 1 0 , 2 4 ]
T h i s p a p e r e x p l o r e s a v e r y d i  e r e n t a p p r o a c h . T h e s y s t e m c o m p r i s e s a n e t w o r k o f s e n s o r n o d e s
( S N ) a n d a n a c c e s s p o i n t ( A P ) . E a c h S N a s s e m b l e s a s i n g l e - o r d o u b l e - a x i s M e M S a c c e l e r o m e t e r ,
a m i c r o p r o c e s s o r ,  a s h m e m o r y , a r a d i o , a n d a n e l e c t r o n i c P C b o a r d t h a t i n t e r c o n n e c t s t h e s e
c o m p o n e n t s . A p a i r o f A A b a t t e r i e s p o w e r s t h e a s s e m b l y . T h e S N i s e n c a s e d i n a 3 " ' S m a r t S t u d '
a n d g l u e d o n t h e p a v e m e n t s u r f a c e . T h e p r o c e s s e d d a t a a r e s e n t b y t h e S N r a d i o t o t h e A P , s i t u a t e d
o n t h e s i d e o f t h e r o a d . T h e A P m a y r e c o r d t h e d a t a l o c a l l y o r f o r w a r d t h e m t o a r e m o t e s i t e .
T h e S N s d i r e c t l y m e a s u r e t h e v i b r a t i o n ( a c c e l e r a t i o n ) o f t h e p a v e m e n t u n d e r t h e m . I t m a y a l s o
b e p o s s i b l e t o p r o c e s s t h e S N d a t a t o e s t i m a t e t h e t r u c k a x l e w e i g h t a n d s p a c i n g , c l a s s i  c a t i o n ,
a n d s p e e d . T h e S N a n d A P u s e d , t o g e t h e r w i t h t h e i n s t a l l a t i o n c o s t , a r e a f r a c t i o n o f t h e c o s t o f
c u r r e n t W I M s t a t i o n s .
F i g u r e 1 s h o w s a p o s s i b l e d e p l o y m e n t .
[ 1 9 ] a n d [ 1 6 ] d e a l w i t h a s i m i l a r p r o b l e m . B u t t h e a p p l i c a t i o n i s r e s t r i c t e d t o b r i d g e s , a n d
t h e m o d e l d o e s n o t c o n s i d e r t r a n s i e n t p a v e m e n t e  e c t s . T h e m o d e l s a r e m u c h s i m p l e r s i n c e t h e y
 R e s e a r c h s u p p o r t e d b y C a l i f o r n i a D e p a r t m e n t o f T r a n s p o r t a t i o n a n d A R O - M U R I U C S C - W 9 1 1 N F - 0 5 - 1 - 0 2 4 6 -
V A - 0 9 / 0 5
1
F i g u r e 1 : D e p l o y m e n t o f p r o p o s e d W I M s y s t e m o n a m u l t i - l a n e f r e e w a y o r b r i d g e l o c a t i o n . T h e
s e n s o r n o d e s a r e o n l y 3 " i n d i a m e t e r ; t h e a c c e s s p o i n t i s a 5 " c u b e . D a t a f r o m s e n s o r s n o d e s a r e
s e n t t o t h e a c c e s s p o i n t v i a r a d i o . T h e s e n s o r n o d e s a n d a c c e s s p o i n t s a r e d r a w n a t a n e x a g g e r a t e d
s c a l e r e l a t i v e t o l a n e w i d t h .
r e l y o n m o d a l e s t i m a t i o n , a n d g i v e n o a c c u r a c y g u a r a n t e e s . I n b r i d g e s t h e r e s p o n s e s h a v e h i g h e r
a m p l i t u d e s a s w e l l a s t h e d e c a y i s s l o w e r , m a k i n g i t p o s s i b l e f o r a m o d a l e s t i m a t i o n p r o c e d u r e t o
w o r k . B u t a m o n g t h e m a n y c o n s t r a i n t s , o n l y a s i n g l e t r u c k a t a t i m e c a n p a s s t h r o u g h t h e b r i d g e ,
w h i c h m a k e s i t a n i m p r a c t i c a l s o l u t i o n .
W e i n t u r n , d e v e l o p a d i  e r e n t a p p r o a c h . W e s t a r t o u r s t u d y w i t h t h e a n a l y s i s o f a l i t e r a t u r e
v a l i d a t e d P D E m o d e l o f t h e p a v e m e n t [ 2 3 , 1 2 , 2 ] . W e c o m p u t e a c l o s e d f o r m s o l u t i o n f o r t h e
p a v e m e n t r e s p o n s e u n d e r t r u c k m o t i o n . W e t h e n d e s i g n o p t i m a l w e i g h t e s t i m a t i o n a l g o r i t h m s
u s i n g t h e c l o s e d f o r m s o l u t i o n . A l o n g t h e w a y w e d i s c u s s i s s u e s s u c h a s r e q u i r e d p r e c i s i o n f o r S N ,
e n e r g y c o n s u m p t i o n f o r s t a n d a l o n e o p e r a t i o n a n d c o m m u n i c a t i o n r e q u i r e m e n t s , a s w e l l a s e  c i e n t
a l g o r i t h m i c i m p l e m e n t a t i o n s .
T h e p a p e r a l s o h o l d s i n d e p e n d e n t i n t e r e s t d u e t o t h e c l o s e d f o r m s o l u t i o n d e r i v a t i o n p r e s e n t e d .
T o o u r k n o w l e d g e n o s i m i l a r d e r i v a t i o n s e x i s t i n t h e l i t e r a t u r e f o r t h e s i t u a t i o n p r e s e n t e d . O n e
a d v a n t a g e o f t h e c l o s e d s o l u t i o n i n t h e p r e s e n t c a s e i s t h a t f o r u s u a l p a r a m e t e r s t h e s y s t e m i s
s t i  , a n d s i m u l a t i o n p o s e s s e r i o u s d i  c u l t i e s . W e a t t e m p t e d u s i n g s o m e p o p u l a r P D E s o l v e r s f o r
c o m p u t i n g t h e s o l u t i o n a n d o b t a i n e d p o o r a p p r o x i m a t i o n s .
F u r t h e r m o r e , o u r e s t i m a t i o n p r o b l e m a i m s a t e s t i m a t i n g a  n i t e p a r a m e t e r , f r o m i n  n i t e m e a -
s u r e m e n t s o r p o i n t m e a s u r e m e n t s o f a n d i s t r i b u t e d d i m e n s i o n a l s y s t e m , c o n t r i b u t i n g t o t h e l i t e r a -
t u r e o n e s t i m a t i o n i n s y s t e m s d e s c r i b e d b y p a r t i a l d i  e r e n t i a l e q u a t i o n s [ 9 , 6 , 1 , 1 7 ] .
T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 s t a t e s t h e p a v e m e n t m o d e l a n d t h e e s t i m a t i o n p r o b -
l e m o f i n t e r e s t . S e c t i o n 3 d e v e l o p s a n a n a l y s i s o f t h e m o d e l , i n c l u d i n g a c l o s e d f o r m a p p r o x i m a t i o n
t h a t i s o f i n d e p e n d e n t i n t e r e s t . I n S e c t i o n 4 w e p r e s e n t m e t h o d s f o r e s t i m a t i n g t h e l o a d u n d e r
v a r i o u s s e t u p s . T h e p r e s e n t e d m e t h o d i s o p t i m a l a n d c a n b e u s e d t o g a u g e o t h e r m e t h o d s u s e d
i n p r a c t i c e . S e c t i o n 5 i n t r o d u c e s s o m e s y s t e m d e s i g n c o n s i d e r a t i o n s , r e g a r d i n g s e n s o r p l a c e m e n t
a n d e s t i m a t i o n m e t h o d s . W e d i s c u s s s i m u l a t i o n r e s u l t s u s i n g r e a l w o r l d p a v e m e n t p a r a m e t e r s i n
S e c t i o n 6 . T h e p r o o f s o f a l l t h e o r e m s o f t h e p a p e r a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 7 . C o n c l u d i n g r e m a r k s
a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 8 .
2
2 P r o b l e m s t a t e m e n t
W e c o n s i d e r t h e m o d e l o f a r o a d a s a n E u l e r b e a m w i t h e l a s t i c f o u n d a t i o n w i t h a m o v i n g l o a d .
T h e v e r t i c a l n o n - s t a t i o n a r y f o r c e a c t i n g o n t h e t h e r o a d ( b e a m ) i s d u e t o t r a n s i e n t d y n a m i c l o a d s
a p p l i e d t h r o u g h t i r e s o f m o v i n g v e h i c l e s [ 1 3 , 1 8 , 2 3 ] .
T h e c o n v e n t i o n a l m o d e l o f t h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f a o n e - d i m e n s i o n a l d a m p e d b e a m i s [ s e e
[ 2 , 7 , 1 2 , 2 2 ] ]
E I
@ 4 y
@ x 4 + 
@ 2 y
@ t 2 + 
@ y
@ t
+  y = F ( x ; t ) : ( 1 )
H e r e x a n d y ( x ; t ) a r e t h e h o r i z o n t a l p o s i t i o n ( a l o n g t h e r o a d ) a n d t h e v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t ( o f
t h e p a v e m e n t ) , a n d F ( x ; t ) i s t h e a p p l i e d f o r c e a t p o s i t i o n x a n d t i m e t . T h e d i s p l a c e m e n t y v a r i e s
i n t h e d o m a i n y 2 R , a n d t h e p o s i t i o n x v a r i e s w i t h i n t h e i n t e r v a l [ 0 ; L ] . T h e s t a n d a r d r o a d b e a m
m o d e l m a k e s t h e a s s u m p t i o n  >  , w h i c h r e s u l t s i n t h e r o a d p a v e m e n t h a v i n g n a t u r a l f r e q u e n c i e s
[ 2 5 ] .
T h e b a s i c f o r c e r e s u l t i n g f r o m a t r u c k m o v i n g a t v e l o c i t y V i s m o d e l e d a s t h e m o v i n g e x c i t a -
t i o n [ 1 3 ]
F ( x ; t ) = F c o s ( ! 0 t )   ( x 􀀀 V t ) ; ( 2 )
w h e r e V i s t h e v e l o c i t y o f t h e p o i n t o f a p p l i c a t i o n o f t h e f o r c e F c o s ( ! 0 t ) w i t h m a g n i t u d e F a n d
f r e q u e n c y ! 0 ) . T h e m a g n i t u d e a n d f r e q u e n c y a r e d e t e r m i n e d b y t h e v e h i c l e ' s s u s p e n s i o n s y s t e m .
T y p i c a l v a l u e s a r e F = 5 0 0 0 0 N a n d ! 0 = 2  f 0 , w h e r e f 0 i s b e t w e e n 1 H z a n d 3 H z [ 8 , 5 ] . R e a l
t r u c k s h a v e f o r c e e x c i t a t i o n s c o m p o s e d o f a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f b a s i c c o m p o n e n t s
F ( x ; t ) = P ( t )   ( x 􀀀 V t ) ; ( 3 )
P ( t ) = F (
W X r = 0
P r c o s ( ! r t ) ) ;
w h e r e t h e n u m b e r o f c o m p o n e n t s W a n d t h e f r e q u e n c i e s ! i d e p e n d o n t h e t r u c k s u s p e n s i o n s y s t e m
t y p e . F o r q u a r t e r c a r m o d e l s , W = 2 , ! 0 = 0 , ! 1 i s i n t h e g i v e n r a n g e [ 5 , 2 4 ] . F o r w a l k i n g b e a m
m o d e l s , W = 3 , w i t h ! 0 = 0 [ 2 4 ] . T h e v a l u e s o f P r a r e u s u a l l y a s s u m e d t o b e e q u a l o r h a v e a  x e d
p r o p o r t i o n .
W e a l s o c o n s i d e r a  x e d e x c i t a t i o n a p p l i e d a t a p o i n t x 0 a t t i m e t 0
F ( x ; t ) = F  ( t 􀀀 t 0 )  ( x 􀀀 x 0 ) ; ( 4 )
T h e p o i n t o f a p p l i c a t i o n o f t h e f o r c e a t t i m e t i s x a = V t . I t s t a r t s t o m o v e a t t i m e t 0 = 0 ,
f r o m p o s i t i o n x a ( 0 ) = 0 . T h i s m o d e l i s a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e s t a n d a r d q u a r t e r c a r m o d e l
( [ 2 4 , 1 3 , 4 ] ) . W e o p t f o r t h e a p p r o x i m a t i o n s i n c e i n r e a l a p p l i c a t i o n s , t h e q u a r t e r c a r m o d e l h a s
t o o m a n y p a r a m e t e r s c o m p a r e d t o t h e e x p e c t e d u n c e r t a i n t y ( [ 2 , 1 3 ] ) .
W e c o n s i d e r t w o t y p e s o f b o u n d a r y a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s e t s f o r s o l v i n g t h e e q u a t i o n o f m o t i o n :
3
M o d e l I a n d M o d e l I I . I n M o d e l I w e c o n s i d e r e q u a t i o n ( 1 ) f o r t h e e l a s t i c b e a m t a k i n g i t t o
b e  n i t e o f l e n g t h L w i t h i t s e n d s f r e e l y h i n g e d a t x = 0 a n d a t x = L . I n M o d e l I I w e c o n s i d e r
e q u a t i o n ( 1 ) f o r t h e e l a s t i c b e a m t a k i n g i t t o b e s e m i i n  n i t e , w i t h i t s e n d f r e e l y h i n g e d a t x = 0 .
I n b o t h c a s e s t h e b e a m i s i n i t i a l l y a t r e s t .
T h e o b s e r v a t i o n i s g i v e n b y t h e m e a s u r e m e n t e q u a t i o n
( A ) P o i n t w i s e d i s p l a c e m e n t s e n s o r m e a s u r e m e n t o f y ( x  ; t ) ; t 2 [ 0 ;  ]
z ( t ) = y ( x  ; t ) +  ( t ) : ( 5 )
( B ) P o i n t w i s e a c c e l e r a t i o n s e n s o r m e a s u r e m e n t o f  y ( x  ; t ) ; t 2 [ 0 ;  ]
z ( t ) = @ 2 y ( x  ; t )
@ t 2 +  ( t ) =  y ( x  ; t ) +  ( t ) : ( 6 )
T h r o u g h o u t t h e t e x t y 0 d e n o t e s t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e @ y = @ x i n x a n d y _ { t h e t i m e d e r i v a t i v e
@ y
@ t i n t .
I n ( 5 ) a n d ( 6 ) , x  i s t h e p o i n t o f m e a s u r e m e n t a n d  ( t ) i s t h e m e a s u r e m e n t n o i s e , w i t h  ( t ) w h i t e
n o i s e w i t h v a r i a n c e  2
 ( W h i t e N o i s e M o d e l ) [ 1 1 , 1 4 ] o r  ( t ) =  ( t ) + u ( t ) , j u ( t ) j   ;  > 0 ; a n d
 ( t ) w h i t e n o i s e w i t h v a r i a n c e  2
 ( B o u n d e d N o i s e M o d e l ) . W h i t e n o i s e a r i s e s i n a p p l i c a t i o n s
d u e t o e l e c t r i c a l a n d t r a n s d u c e r n o i s e i n t y p i c a l s e n s o r s u s e d f o r m e a s u r e m e n t s [ 1 7 ] . B o u n d e d
n o i s e a r i s e s d u e t o d r i f t o b s e r v e d i n s o m e s e n s o r m o d a l i t i e s . T y p i c a l l y , w e a l s o o b s e r v e w h i t e n o i s e
t o g e t h e r w i t h t h e b o u n d e d n o i s e .
I n g e n e r a l , c o n t i n u o u s t i m e m e a s u r e m e n t s a r e n o t a v a i l a b l e . B u t w e s a m p l e a t a h i g h s a m p l i n g
r a t e , t h e r e f o r e t h e p e r f o r m a n c e l o s s d u e t o d i s c r e t i z a t i o n i s s m a l l . A l s o , w e a l l o w m e a s u r e m e n t s
t o b e m a d e a t s e v e r a l p o i n t s a l o n g t h e h i g h w a y , a t x 1 ; : : : ; x N . T h e v e c t o r o f o b s e r v e d f u n c t i o n s i s
d e n o t e d b y z ( t ) .
B a s e d o n t h i s m o d e l w e i d e n t i f y t h r e e p r o b l e m s t o b e s o l v e d :
P r o b l e m 1 [ F o r c e e s t i m a t i o n ] E s t i m a t e t h e v a l u e F o n t h e b a s i s o f t h e a v a i l a b l e m e a s u r e m e n t
z ( t ) ; t 2 [ 0 ;  ] . T h e p a r a m e t e r s E I ;  ;  ;  , i n ( 1 ) a r e a l l t a k e n a s k n o w n .
P r o b l e m 2 [ C l a s s d e t e c t i o n ] S u p p o s e t h e r e a r e m n o n i n t e r s e c t i n g i n t e r v a l s F k  I R + :
f F j \ F k j j ; k = 1 ; : : : ; m ; k 6 = j g = ; :
O n t h e b a s i s o f m e a s u r e m e n t s z ( t ) ; t 2 [ 0 ;  ] i d e n t i f y t o w h i c h i n t e r v a l F k d o e s F b e l o n g .
P r o b l e m 3 [ C a l i b r a t i o n ] G i v e n a v a i l a b l e m e a s u r e m e n t s z ( t ) a n d a n i n p u t w i t h k n o w n d y -
n a m i c f o r c e ( F ; ! 0 ) , e s t i m a t e t h e p a r a m e t e r s o f t h e r o a d m o d e l .
O b s e r v e t h a t t h e s e p r o b l e m s d e a l w i t h t h e i d e n t i  c a t i o n o f a  n i t e n u m b e r ( F ) t h r o u g h m e a -
s u r e m e n t o f a n i n  n i t e { d i m e n s i o n a l p r o c e s s [ 1 7 ] . A l s o n o t i c e t h a t t h e b o u n d e d n o i s e m o d e l i s m o r e
n a t u r a l l y r e l a t e d t o P r o b l e m 2 a n d t h e w h i t e n o i s e m o d e l i s b e t t e r r e l a t e d t o P r o b l e m 1 . I n
t h i s p a p e r w e f o c u s o n P r o b l e m s 1 a n d 2 . P r o b l e m 3 w i l l b e a d d r e s s e d s e p a r a t e l y .
4
3 S y s t e m a n a l y s i s
I n t h i s s e c t i o n w e e x p l o r e t h e b e h a v i o r o f t h e s y s t e m g i v e n i n e q u a t i o n ( 1 ) . F i r s t a n a n a l y t i c
s o l u t i o n o f t h e r e s p o n s e o f t h e s y s t e m i s c o m p u t e d u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h e b e a m i s  n i t e . N e x t
a n e x t e n s i o n f o r t h e s e m i - i n  n i t e b e a m i s p r e s e n t e d , a n d t h e s o l u t i o n c a n b e r e d u c e d t o a p a r t i c u l a r
s e t t i n g o f t h e  n i t e b e a m s o l u t i o n . W e a l s o c o n s i d e r a n a n a l y t i c a p p r o x i m a t i o n t o t h e c o m p l e t e
s o l u t i o n .
[ 1 5 ] , [ 2 5 ] a n d [ 3 ] a n d p r o p o s e a p p r o x i m a t i o n s o f t h e b e a m r e s p o n s e t o m o v i n g l o a d s . T h e s e
a p p r o x i m a t i o n s a r e d i  e r e n t , i n t h e s e n s e t h a t n o g u a r a n t e e s o n t h e e r r o r s i z e o f t h e a p p r o x i m a -
t i o n a r e c o m p u t e d , a s w e l l a s t h e a p p l i e d l o a d s h a v e d i  e r e n t c h a r a c t e r i s t i c s . F u r t h e r m o r e , t h e
m o d u l a t e d m o v i n g c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e s y s t e m r e s p o n s e i s n o t a s c l e a r l y i d e n t i  a b l e i n s o m e o f
t h e s e a p p r o x i m a t i o n s . I n s o m e s e n s e , t h e w o r k i n t h i s s e c t i o n c o m p l e m e n t s a n d e x t e n d s p r e v i o u s
a p p r o x i m a t i o n m e t h o d o l o g i e s .
[ 4 ] a l s o p r o p o s e s a n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n m e t h o d o l o g y t o c o m p u t e p a v e m e n t r e s p o n s e s , b a s e d
o n a s t a t e - s p a c e m o d e l [ 2 1 ] . T h e m a i n i s s u e o f t h i s a p p r o a c h f o r o u r p u r p o s e s i s t h a t c o m p u t i n g t h e
n u m e r i c a l r e s p o n s e s i n r e a l - t i m e i s m u c h m o r e c o m p u t a t i o n a l l y i n t e n s i v e t h a n t h e f o r m u l a s d e r i v e d
i n t h i s s e c t i o n .
3 . 1 F i n i t e b e a m
L e t u s n o w c o n s i d e r e q u a t i o n ( 1 ) f o r t h e e l a s t i c b e a m t a k i n g i t t o b e o f  n i t e l e n g t h L , w i t h b o t h
e n d s f r e e l y h i n g e d a t x = 0 a n d x = L [ 2 2 ] . T h e n w e h a v e
y ( 0 ; t ) = y ( L ; 0 ) = 0 ; y 0 0 ( 0 ; t ) = y 0 0 ( L ; 0 ) = 0 ; t  0 : ( 7 )
W e a s s u m e t h e b e a m t o b e o r i g i n a l l y a t r e s t , i n i t s e q u i l i b r i u m p o s i t i o n :
y ( x ; 0 ) = 0 ; y _ ( x ; 0 ) = 0 ; x  0 : ( 8 )
T h e r e f o r e , t h e m o t i o n o f t h e b e a m w i l l a r i s e o n l y d u e t o t h e e x t e r n a l f o r c e F ( x ; t ) . F o r t h e m o v i n g
e x c i t a t i o n , w e c a n t h e n s h o w :
T h e o r e m 3 . 1 . C o n s i d e r t h e s y s t e m i n e q u a t i o n ( 1 ) w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 7 ) a n d ( 8 ) . T h e
r e s p o n s e o f t h e s y s t e m e x c i t e d b y F ( x ; t ) = F c o s ( ! 0 t )   ( x 􀀀 V t ) i s :
( a ) T h e e x a c t s o l u t i o n i s g i v e n b y :
y ( x ; t ) =
2
L
1 X m = 0
Y m ( t ) s i n   m x
L  ; ( 9 )
w h e r e Y m ( t ) i s g i v e n i n e q u a t i o n ( 1 0 ) , a n d i s c o m p o s e d b y t w o p a r t s Y t r ; m ( t ) , t h e t r a n s i e n t n a t -
u r a l b e a m r e s p o n s e , a n d Y s s ; m ( t ) , t h e " s t e a d y - s t a t e " c o m p o n e n t , c o r r e s p o n d i n g t o t h e r e s p o n s e
5
o f t h e b e a m t o t h e e x c i t a t i o n :
Y m ( t ) = Y t r ; m ( t ) + Y s s ; m ( t ) ; ( 1 0 )
Y s s ; m ( t ) = F 0
2 f j F a ; m j s i n ( ! a ; m t + \ j F a ; m j ) + j F b ; m j s i n ( ! b ; m t + \ j F b ; m j ) g ;
Y t r ; m ( t ) = F 0
2 
 m
e 􀀀 k t ( j C a ; m j s i n ( 
 m t + \ C a ; m ) + j C b ; m j s i n ( 
 m t + \ C b ; m ) ) ;
F 0 = F

; k = 

; ! 2 m
= (  (  m = L ) 4 +  ) =  ; 
 2
m = ! 2 m
􀀀 k 2
! a ; m =  m
L
V + ! 0 ; ! b ; m =  m
L
V 􀀀 ! 0 ;
C a ; m =
1
k 2 􀀀 2 k 
 m i 􀀀 
 2
m + ! 2
a ; m
;
C b ; m =
1
k 2 􀀀 2 k 
 m i 􀀀 
 2
m + ! 2
b ; m
;
F ( s ; m ) = s 2 + 2 k s + ! 2 m
;
F a ; m = F ( i ! a ; m ; m ) 􀀀 1 ;
F b ; m = F ( i ! b ; m ; m ) 􀀀 1 = F  ( i ! a ; m ; 􀀀 m ) 􀀀 1 :
( b ) W e h a v e :
l i m
L ! 1
y ( x ; t ) = F 0 R e [    ( V t 􀀀 x ) e j ! 0 t ] + O 􀀀 e 􀀀 k t  ;
w h e r e
   ( t ) =
1
2  i Z 1
􀀀 1

 ( s ) 􀀀 1 e s t d s ;

 ( s ) =  =  s 4 + V 2 s 2 + ( 2 ! 0 V i + 2 k V ) s + (  =  􀀀 ! 2
0 + 2 k ! 0 i ) : ( 1 1 )
( c ) T h e r e s p o n s e o f s y s t e m ( 1 ) t o t h e  x e d e x c i t a t i o n F ( x ; t ) = F  ( t 􀀀 t 0 )  ( x 􀀀 x 0 ) i s g i v e n b y :
~ Y m ( t ) = F 0 
 􀀀 1
m e 􀀀 k t s i n ( 
 m t ) u ( t ) ;
y ( x ; t ) =
2
L
1 X m = 0
~ Y m ( t 􀀀 t 0 ) c o s   m ( x 􀀀 x 0 )
L  􀀀
2
L
1 X m = 0
~ Y m ( t 􀀀 t 0 ) c o s   m ( x + x 0 )
L  ;
w h e r e t h e H e a v e s i d e f u n c t i o n u ( t ) i s d e  n e d a s u ( t ) = 1 f o r t  0 a n d u ( t ) = 0 f o r t < 0 .
T h e s o l u t i o n i n T h e o r e m 3 . 1 d o e s n o t s o l v e f o r t h e t r u c k f o r c i n g t e r m ( e q u a t i o n ( 2 ) ) , b u t s i n c e
t h e P D E i s l i n e a r , t h e r e s u l t i s e a s i l y e x t e n d e d .
C o r o l l a r y 1 . L e t
h ( x ; t j ! 0 ; V ) =
1

R e [    ( V t 􀀀 x ) e j ! 0 t ] ; ( 1 2 )
6
w h e r e    i s c o m p u t e d a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 4 8 ) w i t h p a r a m e t e r s ! 0 a n d V . T h e n t h e r e s p o n s e o f
s y s t e m ( 1 ) t o t h e t r u c k f o r c i n g t e r m ( e q u a t i o n ( 2 ) ) i s g i v e n b y
l i m
L ! 1
y ( x ; t ) = F ( h ( x ; t j 0 ; V ) + h ( x ; t j ! 0 ; V ) ) + O 􀀀 e 􀀀 k t  ( 1 3 )
T h e q u a l i t a t i v e b e h a v i o r o f t h e s y s t e m c a n b e e x p l o r e d u s i n g T h e o r e m 3 . 1 ( c ) . T h e c l o s e d f o r m
s o l u t i o n f o r t h e d i s p l a c e m e n t y ( x ; t ) c a n b e o b t a i n e d b y c o m p u t i n g t h e i n v e r s e L a p l a c e t r a n s f o r m
[ 2 1 ] o f 
 ( s ) 􀀀 1 a s s h o w n . I n v e r t i n g L a p l a c e t r a n s f o r m s r e q u i r e s t h e s p e c i  c a t i o n o f t h e r e g i o n o f
c o n v e r g e n c e ( R O C ) o f t h e i n t e g r a l [ 2 1 ] . S i n c e t h e s y s t e m w e a r e d e a l i n g i s a p h y s i c a l s y s t e m , t h e
s o l u t i o n o b t a i n e d f r o m t h e i n v e r s i o n c o m p u t a t i o n s h o u l d b e a s o l u t i o n w i t h b o u n d e d e n e r g y .
T h e s t a n d a r d i n v e r s i o n p r o c e d u r e s t a r t s b y c o m p u t i n g t h e r o o t s o f t h e r a t i o n a l t r a n s f e r f u n c t i o n
t o b e i n v e r t e d . I n t h e p r e s e n t c a s e t h i s c o r r e s p o n d s t o  n d i n g t h e v a l u e s  i s u c h t h a t 
 (  i ) = 0 ,
w h i c h a m o u n t s t o s o l v i n g f o r t h e r o o t s o f a f o u r t h o r d e r p o l y n o m i a l . T h e n w e c a n u s e t h e p a r t i a l
f r a c t i o n e x p a n s i o n , a n d a s s u m i n g n o r e p e a t e d r o o t s , t o o b t a i n t h e d e c o m p o s i t i o n :

 ( s ) 􀀀 1 =
4 X i = 1
A i
s 􀀀  i
;
w h e r e A i a r e t h e p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n c o e  c i e n t s . U s i n g t h e b o u n d e d e n e r g y c o n d i t i o n a s t h e
r e g i o n o f c o n v e r g e n c e r u l e , t h e i n v e r s e L a p l a c e t r a n s f o r m s t a t e s :
1
2  Z 1
􀀀 1
A i
s 􀀀  i
e s t d s = ( A i e  i t u ( t ) R e [  i ]  0
􀀀 A i e  i t u ( 􀀀 t ) R e [  i ] > 0 :
S i n c e t h e c o e  c i e n t t h a t f o l l o w s s 3 i n t h e p o l y n o m i a l 
 ( s ) i s z e r o , w e h a v e t h a t  1 +  2 +  3 +  4 = 0 ,
w h i c h i m p l i e s t h a t e i t h e r R e [  i ] = 0 f o r a l l t h e r o o t s , o r e l s e , t h e r e a r e r o o t s w i t h R e [  i ] > 0 a n d
w i t h R e [  i ] < 0 . T h e b e a m i s d a m p e d , t h e r e f o r e n o t a l l r o o t s c a n b e R e [  i ] = 0 . W i t h o u t l o s s
o f g e n e r a l i t y , l e t u s a s s u m e t h a t R e [  1 ] > 0 , R e [  2 ] > 0 , R e [  3 ] < 0 a n d R e [  4 ] < 0 . T h e n , t h e
f u n c t i o n    ( t ) i n T h e o r e m 3 . 1 ( c ) c a n b e c o m p u t e d a s
   ( t ) = 􀀀 A 1 e  1 t u ( 􀀀 t ) 􀀀 A 2 e  2 t u ( 􀀀 t ) + A 3 e  3 t u ( t ) + A 4 e  4 t u ( t ) :
T h e b e a m d e  e c t i o n r e s p o n s e i s e s s e n t i a l l y a t r a v e l i n g w a v e s h a p e d b y    ( t ) . T h e s h a p e o f   
i m p l i e s t h a t t h e r e i s a d e c a y i n g b e h a v i o r f o r l a r g e t > 0 a n d f o r s m a l l t < 0 . M o r e o v e r , t h e t i m e
t  a t w h i c h t h e t r u c k g o e s o v e r t h e l o c a t i o n x i s t  = x = V . A t t h i s t i m e , t h e v a l u e o f t h e w a v e
s h a p e i s    ( 0 ) . T h i s a l s o i m p l i e s t h a t a t l o c a t i o n x t h e b e a m e x p e r i e n c e s s o m e d i s p l a c e m e n t e v e n
b e f o r e t h e t r u c k a r r i v e s a t t h a t l o c a t i o n , s i n c e    ( t ) 6 = 0 f o r t < 0 . T h i s d i s p l a c e m e n t i s c a u s e d
b y t h e s u m o f t h e e x c i t a t i o n s j u s t p r i o r t o t h e t r u c k a r r i v i n g a t t h a t l o c a t i o n . T h e w h o l e r e s p o n s e
i s m o d u l a t e d b y t h e t r u c k ' s s u s p e n s i o n s y s t e m f r e q u e n c y . T h i s a c c u r a t e l y c a p t u r e s t h e i m p o r t a n t
p h e n o m e n a o b s e r v e d i n t h e m o r e c o m p l e x q u a r t e r c a r m o d e l [ 2 , 1 3 ] .
A b e t t e r c o m p r e h e n s i o n o f t h e b e h a v i o r o f t h e r o o t s c a n b e g a i n e d b y l o o k i n g a t t h e s y s t e m
r e s p o n s e f o r l a r g e t r u c k s p e e d s . C o n s i d e r t h e t r a n s f o r m s 0 = i ! 0 + V s . T h e n , t h e p o l y n o m i a l c a n
7
b e w r i t t e n a s :

 ( s 0 ) = s 0 2 + 2 k s 0 + 

+ 
 V 4 ( s 0 􀀀 i ! 0 ) 4
 s 0 2 + 2 k s 0 + 

T h u s t h e r o o t s o f t h e o r i g i n a l 
 ( s ) a t h i g h s p e e d a r e g i v e n b y
 1 ; 2 = 􀀀 k  p  =  􀀀 k 2 i 􀀀 ! 0 i
V
:
T h e d i s p l a c e m e n t c a n b e c o m p u t e d a s :
y ( x ; t ) 
F
 V p  =  􀀀 k 2
e 􀀀 k ( t 􀀀 x
V ) s i n  p  =  􀀀 k 2  t 􀀀
x
V   c o s  ! 0 x
V  : ( 1 4 )
T h e e x p o n e n t i a l d e c a y o f t h e s o l u t i o n i s a t a r a t e 􀀀 k ( n o t i c e t h e n o r m a l i z a t i o n b y V ) i n d e p e n -
d e n t o f s p e e d , a n d t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s o f t h e s y s t e m i s p  =  􀀀 k 2 . A t h i g h s p e e d s , t h e
s u s p e n s i o n s y s t e m m o d u l a t i o n f r e q u e n c y ! 0 o n l y a  e c t s t h e a m p l i t u d e o f t h e r e s p o n s e s p a t i a l l y .
T o c o n c l u d e t h e d i s c u s s i o n , t h e s o l u t i o n f o r a  x e d e x c i t a t i o n ( T h e o r e m 3 . 1 ( d ) ) c a n b e r e l a t e d
t o t h e m o v i n g e x c i t a t i o n s o l u t i o n . L e t t 0 = x = V a n d x 0 = V t i n t h e  x e d e x c i t a t i o n . T h i s i s s i m i l a r
t o h a v i n g a n u n m o d u l a t e d m o v i n g i m p u l s e w i t h o u t i t e r a t i n g t h r o u g h t h e p h y s i c a l s y s t e m . T h e n :
y ( x ; t ) =
2
L
1 X m = 0
~ Y m ( V t 􀀀 x ) c o s   m ( V t 􀀀 x )
L  􀀀
2
L
1 X m = 0
~ Y m ( V t 􀀀 x ) c o s   m ( x + V t )
L  ;
w h i c h i s t h e s o l u t i o n f o r t h e m o v i n g e x c i t a t i o n w h e n ! 0 = 0 .
3 . 2 S e m i - i n  n i t e b e a m
F o r c o m p l e t e n e s s , w e c o n s i d e r s y s t e m ( 1 ) f o r t h e e l a s t i c b e a m t a k i n g i t t o b e s e m i i n  n i t e , w i t h
i t s e n d f r e e l y h i n g e d a t x = 0 [ 7 , 2 2 ] . T h e i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n i s t h a t t h e o b t a i n e d s o l u t i o n i s
e q u i v a l e n t t o t h e s o l u t i o n o b t a i n e d f o r a  n i t e b e a m o f l e n g t h L b y l e t t i n g L ! 1 , c o n  r m i n g
t h e v a l i d i t y o f o u r a p p r o x i m a t i o n . T h e c o m p u t a t i o n o f t h e c u r r e n t s o l u t i o n , t h o u g h , r e l i e s o n a
c o n t i n u o u s F o u r i e r t r a n s f o r m d e c o m p o s i t i o n [ 7 , 2 2 ] .
S i n c e t h e e n d i s f r e e l y h i n g e d , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t h e n g i v e n b y
y ( 0 ; t ) = 0 ; y 0 0 ( 0 ; t ) = 0 ; t  0 ; ( 1 5 )
W e a s s u m e t h e b e a m t o b e o r i g i n a l l y a t r e s t , i n i t s e q u i l i b r i u m p o s i t i o n :
y ( x ; 0 ) = 0 ; y _ ( x ; 0 ) = 0 ; x  0 : ( 1 6 )
F u r t h e r m o r e , a l s o p r e s u m e t h a t t h e d e r i v a t i v e s y ( k ) ( x ; t ) ; k = 1 ; : : : ; 3 ; v a n i s h a t x = 1 , w h i c h i s
e q u i v a l e n t t o t h e l i m i t o f t h e c o n d i t i o n w e u s e d a t x = L f o r a  n i t e b e a m . W e c a n t h e n s h o w
8
T h e o r e m 3 . 2 . T h e e x a c t s o l u t i o n f o r t h e m o v i n g e x c i t a t i o n h i n g e d s e m i - i n  n i t e b e a m p r o b l e m i s
g i v e n b y :
y ( x ; t ) = ( 2 =  ) 1
2 Z 1
0
Y  ( t ) s i n (  x ) d  ; ( 1 7 )
w h e r e
Y  ( t ) = Y  L

( t ) ; ( 1 8 )
a n d Y m i s g i v e n i n E q u a t i o n ( 1 0 ) .
4 E s t i m a t i n g t h e l o a d
P r o b l e m 1 c o n c e r n s t h e e s t i m a t i o n o f t h e w e i g h t u n d e r t h e W h i t e N o i s e M o d e l , g i v e n t h a t t h e
p a r a m e t e r s o f t h e h i g h w a y a r e k n o w n [ 3 ] . T h e i n p u t t o t h e h i g h w a y s y s t e m i s a t r u c k , w h o s e
c o r r e s p o n d i n g f o r c i n g m o d e l i s g i v e n b y
F ( x ; t ) = F ( 1 + c o s ( ! 0 [ t 􀀀 t 0 ] +  ) )   ( x 􀀀 V [ t 􀀀 t 0 ] ) ; ( 1 9 )
w h e r e w e h a v e i n c l u d e d t h e p h a s e t e r m  t o a c c o u n t f o r t h e u n c e r t a i n t y i n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f
t h e s u s p e n s i o n s y s t e m f o r t h e t r u c k a n d t 0 t o a c c o u n t f o r t h e u n k n o w n i n i t i a l s t a r t i n g t i m e o f t h e
t r u c k .
W e a s s u m e t w o t y p e s o f s i t u a t i o n s . I n t h e c o h e r e n t e s t i m a t i o n p r o b l e m , w e a s s u m e t h a t t h e
t r u c k p a r a m e t e r s t 0 ,  , ! 0 , a n d V a r e k n o w n , a n d w e h a v e t o e s t i m a t e t h e v a l u e o f F . I n a c e r t a i n
s e n s e , t h i s i s t h e b e s t p o s s i b l e s i t u a t i o n , s i n c e t h e w h o l e p a r a m e t r i z a t i o n o f t h e p r o b l e m i s k n o w n .
T h e c o n d i t i o n s a r e p r o g r e s s i v e l y r e l a x e d , a s s u m i n g  r s t t h a t t 0 i s u n k n o w n , b o t h  a n d t 0 a r e
u n k n o w n , a n d  n a l l y t 0 , ! 0 a n d  a r e u n k n o w n . W e a s s u m e t h a t t h e s p e e d V c a n b e m e a s u r e d ,
b u t a t t h e e n d o f t h e s e c t i o n w e s t u d y t h e s e n s i t i v i t y o f o u r p r o b l e m t o w a r d s t h i s p a r a m e t e r . T h e
p r o b l e m s w i t h l e s s i n f o r m a t i o n a r e c a t e g o r i z e d a s n o n - c o h e r e n t e s t i m a t i o n p r o b l e m s , a n d a s w e w i l l
s e e t h e r e a r e c o n s i d e r a b l e n o i s e t r a d e o  s i n s u c h s c e n a r i o s . O n e o f t h e i s s u e s w i t h n o n - c o h e r e n t
e s t i m a t i o n i s t h a t t h e i d e n t i  a b i l i t y o f t h e f o r c e F d e p e n d s o n t h e i n f o r m a t i o n s e t . D e n o t e t h e
i n f o r m a t i o n s e t a s I , s u c h a s i n I = [ V ; ! 0 ;  ] .
T h e  r s t i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n i s a b o u t t h e r o l e o f t h e m e a s u r e m e n t e q u a t i o n . F o r t h e m e t h o d s
p r e s e n t e d h e r e , t h e f a c t t h a t d i s p l a c e m e n t i s b e i n g m e a s u r e d ( e q u a t i o n ( 5 ) ) o r a c c e l e r a t i o n i s b e i n g
m e a s u r e d ( e q u a t i o n ( 6 ) ) d o e s n o t c h a n g e t h e m e t h o d o l o g y . T h e e r r o r r a t e s o f t h e p r o p o s e d m e t h o d s
t h o u g h c o u l d b e d i  e r e n t s i n c e t h e y d e p e n d o n t h e a m o u n t o f e n e r g y m e a s u r e d b y t h e t r a n s d u c e r
r e l a t i v e t o t h e a m o u n t o f n o i s e . T o n o r m a l i z e o u r e r r o r c o m p u t a t i o n s , w e d e  n e t h e s i g n a l - t o - n o i s e
9
r a t i o n ( S N R ) o f t h e m e a s u r e m e n t s y s t e m a s [ 1 4 , 1 7 ] :
P  = E  Z 
0
 ( t ) 2 d t  ; P s = E  Z 
0
z ( t ) 2 d t  ;
S N R = P s 􀀀 P 
P 
; ( 2 0 )
w h i c h i s a s u r r o g a t e m e a s u r e o f t h e r e l a t i v e a m o u n t o f i n f o r m a t i o n b e i n g c a p t u r e d b y t h e s e n s o r . W e
a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , t h a t t h e m e a s u r e m e n t i s d i s p l a c e m e n t . A l s o , f o r t h e r e m a i n d e r
o f t h e s e c t i o n , d e n o t e b y h ( t ; x j V ; ! 0 ;  ) , t h e r e s p o n s e t o t h e f o r c i n g e q u a t i o n ( 1 9 ) :
h ( x ; t j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) =
1

R e [    1 ( V [ t 􀀀 t 0 ] 􀀀 x ) e j ( ! 0 ( t 􀀀 t 0 ) +  ) ] +
1

R e [    0 ( V [ t 􀀀 t 0 ] 􀀀 x ) e j  ] ; ( 2 1 )
w h e r e    1 i s c o m p u t e d a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 4 8 ) w i t h p a r a m e t e r s ! 0 a n d V , a n d    0 c o m p u t e d
w i t h p a r a m e t e r s ! 0 = 0 a n d V . T h i s r e s u l t c a n b e d e m o n s t r a t e d w i t h a m i n o r m o d i  c a t i o n i n t h e
p r o o f o f T h e o r e m 3 . 1 .
F u r t h e r m o r e , w e a l l o w t h e o b s e r v a t i o n t o b e a s c a l a r f u n c t i o n z ( t ) , a t a s i n g l e p o i n t i n s p a c e
x  , o r m o r e g e n e r a l l y , z i ( t ) , a t p o i n t s i n s p a c e x  i
f o r i = 1 ; : : : ; I , i m p l y i n g m e a s u r e m e n t s w i t h I
s e n s o r s . P r o c e d u r e s f o r d i  e r e n t i n f o r m a t i o n s e t s a r e s h o w n i n T h e o r e m 4 . 1 . N o t i c e t h a t a s m o r e
p a r a m e t e r s b e c o m e u n k n o w n , t h e c o m p l e x i t y o f t h e p r o c e d u r e i n c r e a s e s .
T h e o r e m 4 . 1 . G i v e n t h e c o m p l e t e i n f o r m a t i o n s e t I 0 = [ V ; ! 0 ;  ; t 0 ] , t h e o p t i m a l m e a n s q u a r e
e s t i m a t e o f t h e p a r a m e t e r F i s
( a ) F o r a s i n g l e o b s e r v a t i o n a t x 
^ F = Z 1
0
z ( t ) h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; t 0 )
j j h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) j j 2 d t ; ( 2 2 )
a n d t h e M e a n S q u a r e E r r o r ( M S E ) i s g i v e n b y
E [ ( ^ F 􀀀 F ) 2 ] =  2
j j h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) j j 2 ; ( 2 3 )
=
1
S N R ( x  )
( 2 4 )
( b ) F o r m u l t i p l e o b s e r v a t i o n s x  i
, i = 1 ; : : : ; I :
^ F = P I
i = 1 R 1 0 z i ( t ) h ( t ; x  i
j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) d t
P I
i = 1 j j h ( t ; x  i
j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) j j 2
; ( 2 5 )
T h e M S E i s
E [ ( ^ F 􀀀 F ) 2 ] =
I X i = 1
1
S N R ( x  i
) ; ( 2 6 )
1 0
G i v e n t h e i n f o r m a t i o n s e t I 1 = [ V ; ! 0 ;  ] , t h e e n e r g y e s t i m a t e o f t h e p a r a m e t e r F i s
( c ) F o r a s i n g l e o b s e r v a t i o n a t x 
^ F =  R 
0 z ( t ) 2 d t
j j h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; 0 ) j j 2 
 1
2
; ( 2 7 )
( d ) F o r m u l t i p l e o b s e r v a t i o n s x  i
, i = 1 ; : : : ; I :
^ F = P I
i = 1 R 1 0 z i ( t ) 2 d t
P I
i = 1 j j h ( t ; x  i
j ! 0 ; V ;  ; 0 ) j j 2 
; ( 2 8 )
G i v e n t h e i n f o r m a t i o n s e t I i , w h e r e I 0 r e p r e s e n t s t h e c o m p l e t e i n f o r m a t i o n s e t , d e n o t e b y I = I 0 􀀀 I i
t h e s e t o f u n k n o w n p a r a m e t e r s . T h e n
( e ) F o r a s i n g l e o b s e r v a t i o n a t x  , t h e l e a s t - s q u a r e s e s t i m a t o r i s
^ I = a r g m a x
I 􀀀 R 1 0 z ( t ) h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) d t  2
j j h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) j j 2 ( 2 9 )
^ F =   
R 1 0 z ( t ) h ( t ; x  j I i [ ^ I ) d t   
j j h ( t ; x  j I i [ ^ I ) j j 2
( 3 0 )
( f ) F o r m u l t i p l e o b s e r v a t i o n s x  i
, i = 1 ; : : : ; I :
^ I = a r g m a x
I
 P I
i = 1 R 1 0 z ( t ) h ( t ; x  i j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) d t  2
P I
i = 1 j j h ( t ; x  i j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) j j 2
( 3 1 )
^ F =   
P I
i = 1 R 1 0 z ( t ) h ( t ; x  i j I i [ ^ I ) d t   
P I
i = 1 j j h ( t ; x  i j I i [ ^ I ) j j 2
( 3 2 )
T h e  r s t i n s i g h t t h a t T h e o r e m 4 . 1 g i v e s i s t h a t i n t h e f u l l i n f o r m a t i o n c a s e , t h e o p t i m a l e s t i m a t o r
g u a r a n t e e s t h a t t h e m e a n s q u a r e d e r r o r d e c r e a s e s a s O ( 1 = I ) , w h e r e I i s t h e n u m b e r o f s e n s o r s . S o
i n t h e o r y i n c r e a s e d p r e c i s i o n i n t h e f o r c e e s t i m a t i o n c a n b e o b t a i n e d b y a d d i n g a d d i t i o n a l s e n s o r s
t o t h e s y s t e m . I n p r a c t i c e t h e l i m i t s a r e t h e u n c e r t a i n t i e s a b o u t t h e s p e e d o v e r a l o n g e r s t r e t c h o f
p a v e m e n t m i g h t l i m i t t h i s p e r f o r m a n c e .
T h e s e c o n d o b s e r v a t i o n i s t h a t a s t h e i n f o r m a t i o n s e t b e c o m e s s m a l l e r , t h e c o m p l e x i t y o f t h e
o p t i m i z a t i o n n e e d e d t o b e c a r r i e d o u t i n c r e a s e s . F o r e x a m p l e , f o r t h e i n f o r m a t i o n s e t I 4 = f V g ,
a n o p t i m i z a t i o n o v e r t h e t h r e e r e m a i n i n g p a r a m e t e r s ! 0 , t 0 a n d  n e e d s t o b e c a r r i e d o u t . T h e
o p t i m i z a t i o n i t s e l f i s n o t c o n v e x , b u t t h e d o m a i n i s b o u n d e d i n ! 0 a n d  . T h i s f a c t c a n b e u s e d t o
d e v i s e a m o r e e  c i e n t o p t i m i z a t i o n m e t h o d o l o g y .
T o c o n c l u d e t h e s e c t i o n , w e n o t e t h a t t h e r e s u l t f o r t h e B o u n d e d N o i s e M o d e l i s i d e n t i c a l
t o t h e W h i t e N o i s e M o d e l .
1 1
5 S y s t e m d e s i g n
I n t h i s s e c t i o n w e a d d r e s s s o m e i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n s w h e n b u i l d i n g a p r a c t i c a l s y s t e m f o r
a x e l d y n a m i c f o r c e c o m p u t a t i o n . T h e  r s t i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n i s t h e s p a t i a l p l a c e m e n t o f t h e
a c c e l e r a t i o n s e n s o r s , w h i c h c a n r e s u l t i n i m p r o v e d e s t i m a t i o n o f t h e f o r c e . T h e n e x t i m p o r t a n t c o n -
s i d e r a t i o n i s h o w t o i m p l e m e n t a c o m p u t a t i o n s y s t e m f o r t h e a x e l f o r c e , b a s e d o n t h e m e t h o d o l o g y
s u g g e s t e d i n s e c t i o n 4 . S o m e c o n s i d e r a t i o n s a b o u t t h e m o s t e  c i e n t a p p r o a c h e s t o c o m p u t e t h e
o p t i m i z a t i o n s h o u l d b e m a d e . B o t h i s s u e s a r e a d d r e s s e d i n t h i s s e c t i o n .
5 . 1 S e n s o r p l a c e m e n t a n d d e s i g n
N a t u r a l c o n s t r a i n t s o n t h e p l a c e m e n t o f t h e s e n s o r a r i s e f r o m o b s e r v i n g t h e s y s t e m r e s p o n s e f u n c t i o n
t o t h e m o v i n g l o a d ( T h e o r e m 3 . 1 ( c ) ) . T h e c o n s t r a i n t s a r e d r i v e n b y o b s e r v a b i l i t y r e q u i r e m e n t s o f
t h e o u t p u t o f t h e s y s t e m . T h e  r s t i m p o r t a n t n a t u r a l c o n s t r a i n t a r i s e s f r o m t h e o b s e r v a t i o n t h a t
t a k i n g s a m p l e s o f s e n s o r s a t d i  e r e n t s e n s o r s a t l o c a t i o n s x i , a t t i m e s t i = x i = V +  , f o r s o m e
c o n s t a n t  , w e o b t a i n t h e r e s p o n s e f u n c t i o n
y ( t i ; x i ) = F 0 R e [    (  ) ] c o s ( ! 0 = V x i + ! 0  ) + F 0 I m [    (  ) ] s i n ( ! 0 = V x i + ! 0  ) + O 􀀀 e 􀀀 k ( x i
V +  )  :
T h e N y q u i s t c o n d i t i o n [ 2 0 ] i m p l i e s t h a t t h e s a m p l i n g r a t e h a s t o b e l e s s t h a n t w i c e t h e h i g h e s t
f r e q u e n c y o f t h e s i g n a l , f o r u n i f o r m l y s a m p l e d s p a t i a l s i g n a l s . I f w e a s s u m e t h a t s e n s o r s a r e p l a c e d
u n i f o r m l y a c c o r d i n g t o x i = i  x , a n d t h e b a n d w i d t h o f y ( t i ; x i ) i s  ! 0 , t h e c o n d i t i o n b e c o m e s
2 
 x  2  ! 0 :
T h e t r u c k s u s p e n s i o n s y s t e m p a r a m e t e r ! 0 i s i n t h e r a n g e ! 0 2 2  [ 1 ; 3 ] , t h e r e f o r e  ! 0 = 2  ( 3 􀀀 1 ) = V
f o r t h e s i g n a l o f i n t e r e s t , a n d w e c a n c o n c l u d e t h e f o l l o w i n g r e q u i r e m e n t o n t h e s e n s o r p l a c e m e n t :
 x 
V
4
( m e t e r s ) :
I n t e r e s t i n g l y , t h e m i n i m u m s p e e d o f t h e t r u c k i n t h e s y s t e m i s t h e l i m i t a t i o n o n h o w c l o s e s s e n s o r s
m u s t b e . I f w e a s s u m e t h a t t h e m i n i m u m s p e e d i s 3 0 m p h , t h e s e n s o r s m u s t b e a t m o s t 3 . 3 5 m e t e r s
a p a r t f o r o b s e r v a b i l i t y o f t h e m e a s u r e m e n t .
S i m i l a r l y , t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s i n t h e f u n c t i o n    p l a y a r o l e a s w e l l . F o r e a c h r o o t  i
o f t h e s y s t e m f u n c t i o n 
 ( s ) i n ( T h e o r e m 3 . 1 ( c ) ) , t h e N y q u i s t c r i t e r i o n a p p l i e s , t h e r e f o r e
 x 
2 
2 m a x i  i
( m e t e r s ) :
F o r h i g h s p e e d s V o f t h e t r u c k , E q u a t i o n 1 4 s h o w s t h a t b o t h c o n d i t i o n s c a n b e s i m p l i  e d t o
t h e c o n d i t i o n
 x 
2  V
2 (  ! 0 + p  =  􀀀 k 2 )
( m e t e r s ) :
1 2
5 . 2 D i s t r i b u t e d d a t a c o m p u t a t i o n
T h e o p t i m i z a t i o n i n E q u a t i o n ( 2 9 ) i s c o m p l e x w h e n t h e i n f o r m a t i o n s e t i s s m a l l . T h e o p t i m i z a t i o n
i s n o t c o n v e x , b u t i s i n a b o u n d e d d o m a i n , w h i c h f a c i l i t a t e s a s i m p l e a p p r o a c h . W e c o n s i d e r h e r e
t h e s m a l l e s t i n f o r m a t i o n s e t , I = f V g . T h e p r o c e d u r e c a n b e a d j u s t e d f o r o t h e r i n f o r m a t i o n s e t s
i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r .
T h e p a r a m e t e r t 0 i s a t i m e s h i f t p a r a m e t e r , a n d c a n b e o p t i m i z e d s e p a r a t e l y . O n e c h o i c e i s t o
c o m p u t e a c r o s s c o r r e l a t i o n [ 1 4 , 1 7 ] , w h i c h c o n s i s t s i n c a l c u l a t i n g t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n f o r a s e r i e s
o f v a l u e s o f t 0 i n s o m e w i n d o w o f i n t e r e s t [ T 1 ; T 2 ] w h e r e t h e e n e r g y o f t h e s i g n a l z ( t )  i s g r e a t e r t h a n
t h e n o i s e  o o r . A n o t h e r c h o i c e i s t o c o m p u t e F o u r i e r t r a n s f o r m s o f b o t h z ( t )  a n d t h e n o r m a l i z e d
s i g n a l
~ h
( t ; x  i
) = h ( t ; x  i
j ! 0 ; V ;  ; 0 )
q P I
i = 1 j j h ( t ; x  i
j ! 0 ; V ;  ; 0 ) j j 2
( 3 3 )
a n d u s e P a r s e v a l ' s r e l a t i o n t o o b t a i n :
^ I = a r g m a x
I 􀀀 f t 0 g   I X i = 1 Z 1
􀀀 1
Z ( ! ) ~ H
( ! ; x  i
j ! 0 ; V ;  ; 0 )  d ! ! 2
^ F =     
I X i = 1 Z 1
􀀀 1
Z ( ! ) ~ H
( ! ; x  i
j ! 0 ; V ;  ; 0 )  d !     
, s Z 1
􀀀 1
j H ( ! ; x  i
j ! 0 ; V ;  ; 0 ) j 2 d ! :
6 S i m u l a t i o n
I n t h i s s e c t i o n w e e x a m i n e t h e b e h a v i o r o f t h e p a v e m e n t - t r u c k s y s t e m a n d t h e q u a l i t y o f t h e
p r o p o s e d w e i g h t e s t i m a t i o n s c h e m e s . F i r s t w e c o m p u t e t h e r e s p o n s e s o f t h e s y s t e m t o a v a r i e t y o f
c h a n g e s i n t h e p a r a m e t e r s r e p r e s e n t i n g t h e t r u c k s u c h a s i t s s p e e d V a n d s u s p e n s i o n f r e q u e n c y ! 0 .
W e u s e t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r v a l u e s f o r t h e p a v e m e n t [ 2 ] 1 :
E I = 1 : 3 8  1 0 6 N m 2 ;  = 1 7 0  1 0 6 N = m 2 ;  = 3 5 3  1 0 3 k g = m ;  = 1 0 6 N s = m 2 ; ( 3 4 )
w h e r e w e h a v e a s s u m e d M = 1 0 6 ; g = 1 0 m = s 2 . W e t a k e t h e a x e l w e i g h t o f t h e t r u c k t o b e 5 0 0 0
K g , t h e r e f o r e F 0 = 5 0 0 0 0 N . W h e n e v e r u n s p e c i  e d , w e t a k e t h e s u s p e n s i o n s y s t e m f u n d a m e n t a l
f r e q u e n c y t o b e ! 0 = 1 : 2 3 H z .
T h e o b s e r v e d m e a s u r e m e n t s a r e a c c e l e r a t i o n m e a s u r e m e n t s a n d f o l l o w t h e n o i s e M o d e l I . T h e
m e a s u r e m e n t n o i s e i s a s s u m e d z e r o m e a n w h i t e n o i s e w i t h s t a n d a r d d e v i a t i o n  w = 1 2 0  g ( m i c r o -
g ' s ) , w h i c h i s t h e e x p e c t e d n o i s e p o w e r f o r a m e a s u r e m e n t s y s t e m b a s e d o n M E M S a c c e l e r o m e t e r s .
I n t h e s e c o n d p a r t o f t h e s e c t i o n w e c o m p u t e e r r o r d i s t r i b u t i o n s f o r t h e p r o p o s e d w e i g h t e s t i m a -
t i o n m e t h o d o l o g y . A s w e w i l l s e e , t h e p r o p o s e d m e t h o d i s q u i t e r o b u s t t o n o i s e i n t h e a c c e l e r a t i o n
m e a s u r e m e n t s .
1 I n t h e b o o k t h e s e p a r a m e t e r s a r e : E I = 1 : 3 8 M N m 2 ;  = 1 7 0 M N = m 2 ;  = 3 5 3 M g = m ;  = 1 M N s = m 2 :
1 3
F i g u r e 2 : R e l a t i v e M e a n S q u a r e d E r r o r ( % ) b e t w e e n g r o u n d t r u t h d i s p l a c e m e n t a n d a s y m p t o t i c
a p p r o x i m a t i o n a t L = 2 f o r V = 1 0 m / s ( y ( L = 2 ; t ) ) .
6 . 1 P a v e m e n t r e s p o n s e
T h e m a i n d i  c u l t y i n s i m u l a t i n g t h e d i s t r i b u t e d s y s t e m ( E q u a t i o n ( 1 ) ) i s i t s s t i  n e s s w i t h r e s p e c t
t o p a r a m e t e r s i n E q u a t i o n ( 3 4 ) [ 4 ] . S t i  n e s s m e a n s t h a t s m a l l v a r i a t i o n s o n t h e f o r c i n g f u n c t i o n
F ( x ; t ) c a u s e l a r g e v a r i a t i o n s i n t h e o u t p u t y ( x ; t ) . T h i s i s t h e c a s e f o r a n y p a v e m e n t m o d e l , g i v e n
t h a t t h e m a t e r i a l s t r u c t u r e i t s e l f i s n o t v e r y  e x i b l e a n d t h e r e f o r e t h e s y s t e m w i l l e x h i b i t a s t i 
r e s p o n s e [ 1 3 ] .
T h e p a v e m e n t r e s p o n s e t o a m o v i n g l o a d c a n b e c o m p u t e d e x a c t l y b y u s i n g T h e o r e m 3 . 1 ( E q . ( 9 ) ) .
T h e s o l u t i o n i s a c o n v e r g e n t i n  n i t e s u m m a t i o n . T h e s u m m a t i o n c a n n o t b e c o m p u t e d e x a c t l y , b u t
c a n b e a p p r o x i m a t e d b y t r u n c a t i n g a t a p r e d e t e r m i n e d n u m b e r o f t e r m s . L e m m a 7 . 1 s h o w s t h a t
t h e t r u n c a t i o n h a s e x p o n e n t i a l d e c a y s o t h e i g n o r e d p a r t w i l l o n l y c o n t r i b u t e a  n i t e a m o u n t t o
t h e e r r o r . U n f o r t u n a t e l y , s u c h s o l u t i o n d o e s n o t g i v e m u c h i n s i g h t o n t h e b e h a v i o r o f t h e s y s t e m .
F u r t h e r m o r e , f o r t h e p a r a m e t e r s i n E q u a t i o n ( 3 4 ) , t h e p a v e m e n t e x h i b i t s a v e r y s t i  b e h a v i o r , a n d
t h e n u m b e r o f t e r m s r e q u i r e d i s q u i t e l a r g e . F o r t h e r e p o r t e d p a r a m e t e r s , w e o b s e r v e d t h a t a t
l e a s t 5 , 0 0 0 e l e m e n t s w e r e r e q u i r e d b e f o r e t h e n o r m o f t h e a d d i t i o n a l t e r m s b e i n g a d d e d i s a s m a l l
f r a c t i o n o f t h e s u m a t t h a t p o i n t .
A n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h i s t o c o m p u t e a d i r e c t n u m e r i c a l s o l u t i o n t o t h e o r i g i n a l P D E ( E q u a -
t i o n ( 1 ) ) . A F i n i t e E l e m e n t M e t h o d i s i n d i c a t e d f o r t h i s p r o b l e m . T h e p u b l i c l y a v a i l a b l e s t a t e - o f -
t h e - a r t F l e x P D E s o l v e r c a n b e u s e d . D u e t o t h e h i g h d e g r e e o f s t i  n e s s o f t h e P D E , t h e s o l v e r h a s
d i  c u l t i e s  n d i n g a c c e p t a b l e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s t o t h e r e s p o n s e s i n c e i t h a s t o h a n d l e v e r y
p o o r l y c o n d i t i o n e d m a t r i x i n v e r s i o n s . I n o u r e x p e r i m e n t s , t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n r e s u l t e d i n
s o l u t i o n s q u a l i t a t i v e l y c o r r e c t b u t w i t h s e v e r e k i n k s , w h i c h a r e n o t p h y s i c a l l y v a l i d .
T h e c l o s e d f o r m a p p r o x i m a t i o n i n T h e o r e m 3 . 1 ( b ) i s e a s y t o c o m p u t e . T h e s o l u t i o n i s e x a c t
a s t h e l e n g t h L ! 1 . I t i s i m p o r t a n t t h e n t o e v a l u a t e t h e q u a l i t y o f t h e a p p r o x i m a t i o n f o r  n i t e
1 4
( a ) ( b )
F i g u r e 3 : ( a ) D i s p l a c e m e n t a t x = 5 0 0 m , f o r L = 1 0 0 0 m , V = 1 0 m / s a n d ! 0 = 2  = 1 : 2 3 H z .
F u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s ( a m p l i t u d e s ) f o r t h e s i g n a l b e f o r e t = 5 0 s a r e 4 . 7 H z ( 1 4 . 2 ) a n d 9 . 8 H z
( 2 . 8 ) . A f t e r t = 5 0 s t h e y a r e 3 . 7 H z ( 1 3 . 8 ) a n d 3 . 5 H z ( 3 . 1 ) . ( b ) D i s p l a c e m e n t a t x = 5 0 0 m , f o r
L = 1 0 0 0 m , V = 5 0 m / s a n d ! 0 = 2  = 1 : 2 3 H z .
v a l u e s o f L . A s t h e g o l d s t a n d a r d w e c h o o s e t h e t r u n c a t e d s o l u t i o n b a s e d o n T h e o r e m 3 . 1 ( b ) , w i t h a
l a r g e n u m b e r o f c o e  c i e n t s , N = 1 0 ; 0 0 0 , w h e r e i t i s o b s e r v e d c o m p u t a t i o n a l l y t h a t t h e s u m m a t i o n
h a s c o n v e r g e d t o a d e g r e e . T h e r e l a t i v e m e a n s q u a r e d e r r o r i s u s e d f o r c o m p a r i s o n p u r p o s e s :
E r r ( r ( t ) ; y ( t ) ) = R 
0 ( r ( t ) 􀀀 y ( t ) ) 2 d t
R 
0 r ( t ) 2 d t
( 3 5 )
F i g u r e 2 s h o w s t h e r e l a t i v e m e a n s q u a r e d d i  e r e n c e b e t w e e n t h e g r o u n d t r u t h s o l u t i o n a n d t h e
a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n , i n p e r c e n t a g e s . A  x e d p o s i t i o n x = L = 2 w a s c h o s e n . O f c o u r s e t h e
s o l u t i o n i s a c c u r a t e a w a y f r o m t h e b o u n d a r i e s , a n d i n o u r h i g h w a y p r o b l e m w e a r e o n l y i n t e r e s t e d i n
t h e b e h a v i o r a w a y f r o m t h e v i r t u a l b o u n d a r i e s a s w e l l . N o t i c e t h a t v e r y q u i c k l y t h e e r r o r b e c o m e s
n e g l i g i b l e . I t i s s a f e t o s a y t h a t f o r L > 5 0 m , w e h a v e a n a c c u r a t e s o l u t i o n f o r t h e g i v e n p a r a m e t e r s
c h o i c e .
S i m u l a t i o n r e s u l t s
F i g u r e 6 . 1 s h o w s t h e d i s p l a c e m e n t y ( x ; t ) a t x = 5 0 0 m . T h e p e a k o f t h e r e s p o n s e h a p p e n s a t
t = 5 0 s a s e x p e c t e d . F u r t h e r m o r e , e v e n b e f o r e t h e t r u c k a r r i v e s a t x = 5 0 0 m , t h e r e i s a r e s p o n s e
s i g n a l b e i n g g e n e r a t e d . T h i s i s a t y p i c a l c h a r a c t e r i s t i c o f a d i s t r i b u t e d p a r a m e t e r w a v e s y s t e m . W e
a l s o c o m p u t e d t h e s i g n a l f r e q u e n c i e s b e f o r e a n d a f t e r t h e a r r i v a l o f t h e t r u c k a t x = 5 0 0 m . A
s i n g l e f r e q u e n c y b e f o r e a n d a s i n g l e f r e q u e n c y a f t e r a r e r e s p o n s i b l e f o r m o s t o f t h e r e s p o n s e . A s w e
s a w i n t h e t h e o r e t i c a l s e c t i o n , t h e f r e q u e n c i e s b e f o r e t h e a r r i v a l o f t h e t r u c k a t x = 5 0 0 m c o n s i s t
o f t h e i m a g i n a r y p a r t s o f t h e a n t i - c a u s a l p o l e s o f t h e r e s p o n s e t r a n s f e r f u n c t i o n a n d t h e f r e q u e n c i e s
a f t e r c o r r e s p o n d t o t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e c a u s a l p o l e s .
O n e i n t e r e s t i n g f e a t u r e i s t h a t t h e s i g n a l a f t e r t h e t r u c k a r r i v a l v i b r a t e s a t a s m a l l e r f r e q u e n c y
1 5
F i g u r e 4 : C o n t o u r p l o t o f d i s p l a c e m e n t y ( x ; t ) , f o r L = 1 0 0 0 m , V = 1 0 m / s a n d ! 0 = 2  = 1 : 2 3 H z .
t h a n t h e s i g n a l b e f o r e . I n p h y s i c a l t e r m s i t c a n b e u n d e r s t o o d a s a d o p p l e r t y p e p h e n o m e n o n , b u t
t h e w a v e s b e i n g p r o p a g a t e d a r e v i b r a t i o n s a n d t h e p r o p a g a t i o n m e d i u m i s t h e p a v e m e n t .
F i g u r e 4 s h o w s t h e w a v e b e h a v i o r o f t h e d i s p l a c e m e n t r e s p o n s e . T h e r e s p o n s e i s a p p r o x i m a t e l y
l o c a l i z e d i n s p a c e a n d t i m e , i . e . , a t a n y g i v e n  x e d m e a s u r e m e n t p o i n t , t h e r e i s a w i n d o w o f
u s e f u l d a t a . F u r t h e r m o r e t h e  g u r e a l s o s h o w s m o r e c l e a r l y t h e e  e c t s o f m o d u l a t i n g t h e t y p i c a l
r e s p o n s e . I n s u m m a r y , t h e d i s p l a c e m e n t r e s p o n s e a t a n y p o i n t i n s p a c e i s a n a p p r o p r i a t e l y s h i f t e d
a n d m o d u l a t e d v e r s i o n o f t h e r e s p o n s e a t a n y o t h e r p o i n t , w i t h  x m o d u l a t i o n f r e q u e n c y b u t
v a r i a b l e p h a s e .
I n S e c t i o n 3 w e c o m p u t e d t h e a s y m p t o t i c p o l e l o c a t i o n s a s t h e v e l o c i t y o f t h e t r u c k b e c o m e
h i g h . T h e f o u r t h o r d e r p o l y n o m i a l r e d u c e d t o a s e c o n d o r d e r p o l y n o m i a l w i t h c a u s a l c o m p l e x
r o o t s . T h a t i s , t h e r e s p o n s e o f t h e p a v e m e n t b e f o r e t h e t r u c k a r r i v e s a t t h e m e a s u r e m e n t l o c a t i o n
i s n e g l i g i b l e c o m p a r e d t o t h e r e s p o n s e a f t e r . F i g u r e s h o w s t h e r e s p o n s e w i t h t h e t r u c k a t a h i g h e r
s p e e d , c o n  r m i n g t h i s a s y m p t o t i c v i e w p o i n t .
F i g u r e 5 s h o w s t h e v a r i a t i o n o f t h e m a g n i t u d e s o f t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e p o l e s o f t h e
r e s p o n s e w i t h r e s p e c t t o t h e s p e e d . A s t h e s p e e d b e c o m e s h i g h e r , w e s e e t h a t a p a i r o f t h e i m a g i n a r y
f r e q u e n c i e s t e n d t o a s m a l l v a l u e . F u r t h e r m o r e , t h e r e m a i n i n g p a i r i n c r e a s e s l i n e a r l y w i t h s p e e d
a n d b e c o m e s a p p r o x i m a t e l y c o n j u g a t e . T h i s b e h a v i o r a l s o m e a n s t h a t t h e e x p a n s i o n c o e  c i e n t s
f o r t h e s m a l l v a l u e i m a g i n a r y f r e q u e n c y p o l e s b e c o m e s m a l l , a s t h e y a r e d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o
t h e p r o d u c t o f t h e m a g n i t u d e o f t h e r e m a i n i n g p o l e s . T h u s , a s s p e e d i n c r e a s e s , t h e 4 p o l e s y s t e m
c o l l a p s e s t o a t w o p o l e s y s t e m a p p r o x i m a t e l y . T h i s o b s e r v a t i o n w i l l b e u s e f u l t o c a l i b r a t e t h e m o d e l
P D E . T h e F i g u r e a l s o s h o w s t h e r e a l p a r t o f t h e p o l e s , a n d t h e y c o n  r m t h e n o t i o n t h a t a s t h e
s p e e d b e c o m e s h i g h e r w e e n d u p w i t h a p a i r o f c a u s a l c o m p l e x c o n j u g a t e p o l e s a n d p o s s i b l y a p a i r
o f a n t i - c a u s a l c o m p l e x c o n j u g a t e p o l e s .
F i n a l l y , F i g u r e 6 s h o w s t h e i m p u l s e r e s p o n s e f o r a n i m p u l s e l o c a t e d a t x = 5 0 0 m . N o t i c e t h a t
1 6
F i g u r e 5 : R e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e p o l e s o f t h e s y s t e m f o r L = 1 0 0 0 m a n d ! 0 = 2  = 1 : 2 3
H z .
F i g u r e 6 : D i s p l a c e m e n t i m p u l s e r e s p o n s e a l o n g t h e h i g h w a y , f o r L = 1 0 0 0 m , a t ( a ) t = 0 : 0 0 0 0 1 s
a n d ( b ) t = 0 : 1 s .
1 7
n o w t h e o s c i l l a t i o n i s s y m m e t r i c .
7 P r o o f s
7 . 1 T h e o r e m 3 . 1
( a ) A F o u r i e r e x p a n s i o n s h o u l d b e u s e t o s o l v e t h e e q u a t i o n [ 2 2 ] . T h e b a s i s c h o i c e i s c o n s t r a i n e d
b y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n [ 7 , 2 2 ] . T h e r e a r e f o u r a v a i l a b l e b a s i s s i n  m x
L , c o s  m x
L , s i n h  m x
L a n d
c o s h  m x
L . T h e f o u r b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e r i g h t e x p a n s i o n t o u s e . U s i n g
a F o u r i e r t y p e e x p a n s i o n o n t h e b a s i s f s i n  m x
L g , i n t e g r a t i n g f r o m 0 t o L b y p a r t s a n d t a k i n g i n t o
a c c o u n t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 7 ) a t x = 0 a n d x = L , w e o b t a i n t h e r e l a t i o n s
Z L
0
y 0 0 0 0 ( x ; t ) s i n (  m x = L ) d x = 􀀀 (  m = L ) 2 Z L
0
y 0 0 ( x ; t ) s i n (  m x = L ) d x ( 3 6 )
= (  m = L ) 4 Z L
0
y ( x ; t ) s i n (  m x = L ) d x :
W e f u r t h e r p r o c e e d a s f o l l o w s . W e m u l t i p l y b o t h s i d e s o f e q u a t i o n ( 1 ) b y s i n (  m x = L ) a n d i n t e g r a t e
t h e m f r o m 0 t o L i n x . F u r t h e r o n , d e n o t i n g E I =  a n d d i v i d i n g b o t h p a r t s b y  , w e c o m e t o
e q u a t i o n
Y  m + 2   􀀀 1 Y _ m + (  (  m = L ) 4 +  )  􀀀 1 Y m = F  􀀀 1 c o s ! 0 t s i n (  m V t = L ) ( 3 7 )
w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n Y m ( 0 ) = _ Y
m ( 0 ) = 0 .
H e r e
Y m ( t ) = Z L
0
y ( x ; t ) s i n (  m x = L ) d x
i s t h e  n i t e F o u r i e r s i n e c o e  c i e n t o f f u n c t i o n y ( x ; t ) . T h e r i g h t - h a n d s i d e a r r i v e d t h r o u g h f o r m u l a
Z L
0
F c o s ! 0 ( t ) s i n (  m x = L )  ( x 􀀀 V t ) d x = F c o s ! 0 t s i n (  m V t = L )
U s i n g t h e d e  n i t i o n s f o r k ; F 0 ; ! 2 m
a n d 
 2
m w e c o m e t o e q u a t i o n
 Y m + 2 k _ Y m + ! 2 m
Y m = F 0 c o s ! 0 t s i n (  m V t = L ) ( 3 8 )
w i t h z e r o i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r e a c h m .
W e c a n n o w s o l v e t h i s e q u a t i o n b y u s i n g t h e f o l l o w i n g s i m p l i  c a t i o n :
 Y m + 2 k _ Y m + ! 2 m
Y m = F 0
2
s i n ( (  m V = L + ! 0 ) t ) + F 0
2
s i n ( (  m V = L 􀀀 ! 0 ) t ) ( 3 9 )
N o t i c i n g t h a t t h e r o o t s o f t h e d i  e r e n t i a l e q u a t i o n a r e k  
 m i s i n c e  >  ( i m p l y i n g ! 2 m
> k ) ,
w e c a n w r i t e t h e f u l l r e s p o n s e t o t h e a b o v e O D E a s i n E q u a t i o n ( 1 0 ) [ 2 1 ] .
1 8
( b ) F i r s t w e s h o w t h a t t h e t r a n s i e n t p a r t o f t h e c o m p l e t e r e s p o n s e t o a m o v i n g e x c i t a t i o n i s
O ( 1 ) f o r t h e t o t a l t r a n s i e n t r e s p o n s e :
Y t r ( x ; t ) =
2
L
1 X m = 0
Y t r ; m ( t ) s i n   m x
L  ( 4 0 )
L e m m a 7 . 1 . Y t r ( x ; t ) = O 􀀀 e 􀀀 k t  , u n i f o r m l y i n x . F u r t h e r m o r e , l i m L ! 1 Y t r ( x ; t ) = O 􀀀 e 􀀀 k t  ,
u n i f o r m l y i n x .
P r o o f . F r o m t h e d e  n i t i o n s :
j Y t r ( x ; t ) j =     
2
L
1 X m = 0
Y t r ; m ( t ) s i n   m x
L      

2
L
1 X m = 1
j Y t r ; m j
 F 0 e 􀀀 k t 2
L
1 X m = 1
1

 3
m
 F 0 e 􀀀 k t 2
L
1 X m = 1

3
2

3
2  6 ( m = L ) 6
=
2 F 
1
2

3
2  6
e 􀀀 k t K ( L ) ; ( 4 1 )
w h e r e
K ( L ) =
1
L
1 X m = 1
1
( m = L ) 6 :
F o r e a c h  n i t e L i t i s c l e a r t h a t K ( L ) < 1 . M o r e o v e r :
l i m
L ! 1
K ( L ) < Z 1
1
1
s 6 d s
= 1 = 7
W e c a n n o w c o n s i d e r Y s s ; m ( t ) . I s o l a t i n g t h e m o d u l a t i o n o f t h e f o r c i n g t e r m :
Y s s ; m ( t ) = F 0
2  j F a ; m j s i n   m V
L
t + \ j F a ; m j  + j F b ; m j s i n   m V
L
t + \ j F b ; m j   c o s ( ! 0 t ) +
+ F 0
2  j F a ; m j c o s   m V
L
t + \ j F a ; m j  􀀀 j F b ; m j c o s   m V
L
t + \ j F b ; m j   s i n ( ! 0 t ) ( 4 2 )
W e c a n n o w i n c o r p o r a t e t h e s i n e t e r m i n E q u a t i o n ( 9 ) , u s i n g s i n e a n d c o s i n e i d e n t i t i e s a n d m o v i n g
1 9
c o n s t a n t s a r o u n d :
f ( r ) =
1
2 L
1 X m = 0
j F a ; m j c o s   m
L
r + \ j F a ; m j  + j F b ; m j c o s   m
L
r + \ j F b ; m j  ( 4 3 )
g ( r ) =
1
2 L
1 X m = 0
j F a ; m j s i n   m
L
r + \ j F a ; m j  􀀀 j F b ; m j s i n   m
L
r + \ j F b ; m j  ( 4 4 )
y ( x ; t ) = F 0 f ( f ( V t 􀀀 x ) 􀀀 f ( V t + x ) ) c o s ( ! 0 t ) + ( g ( V t + x ) 􀀀 g ( V t 􀀀 x ) ) s i n ( ! 0 t ) g ( 4 5 )
N o w w e c a n c o m p u t e t h e f o l l o w i n g q u a n t i t y :
f  ( r ) = l i m
L ! 1
1
2 L
1 X m = 0
j F a ; m j c o s   m
L
r + \ j F a ; m j  + j F b ; m j c o s   m
L
r + \ j F b ; m j  ( 4 6 )
D e  n i n g t h e c o n s t a n t s
! a ;  =   V + ! 0 ; ! b ;  =   V 􀀀 ! 0 ;
! 2
 = (  (   ) 4 +  ) =  ; ^ ! a ;  =  V + ! 0 ;
F ( s ;  ) = s 2 + 2 k s + ! 2

F a ;  = F ( i ! a ;  ;  ) 􀀀 1
F b ;  = F ( i ! b ;  ;  ) 􀀀 1 = F  ( i ! a ;  ; 􀀀  ) 􀀀 1 ;
w e c a n o b t a i n
f  ( r ) =
1
2 Z 1
0 f j F a ;  j c o s (   r + \ j F a ;  j ) + j F b ;  j c o s (   r + \ j F b ;  j ) g d 
=
1
2  Z 1
􀀀 1  
F ( i ^ ! a ;  ;  ) 􀀀 1  
c o s 􀀀  r + \ F ( i ^ ! a ;  ;  ) 􀀀 1  d  ( 4 7 )
T h e n , d e  n e :
   ( r ) =
1
2  Z 1
􀀀 1

 􀀀 1
 e i  r d 

  = 􀀀 (  V + ! 0 ) 2 + 2 k (  V + ! 0 ) i + (   4 +  ) =  ( 4 8 )
U s i n g t h i s d e  n i t i o n w e c a n s e e t h a t :
f  ( r ) = R e [    ( r ) ] ( 4 9 )
g  ( r ) = l i m
L ! 1
g ( r ) = I m [    ( r ) ] ( 5 0 )
N o t i c e t h a t 4 8 i s j u s t t h e d e  n i t i o n o f a n i n v e r s e f o u r i e r t r a n s f o r m o f 
 􀀀 1
 . W e c a n s t u d y t h e
z e r o s o f t h i s t r a n s f e r f u n c t i o n . F o r t h i s p u r p o s e w e c a n w r i t e t h e p o l e s / z e r o s f o r m o f t h e f o u r i e r
2 0
t r a n s f o r m a s :

  = 􀀀 (  V + ! 0 ) 2 + 2 k (  V + ! 0 ) i + (   4 +  ) =  ( 5 1 )
=  =   4 􀀀 V 2  2 + ( 􀀀 2 ! 0 V + 2 k V i )  + (  =  􀀀 ! 2
0 + 2 k ! 0 i )
=  =  ( i  ) 4 + V 2 ( i  ) 2 + ( 2 ! 0 V i + 2 k V ) ( i  ) + (  =  􀀀 ! 2
0 + 2 k ! 0 i )
=  =  s 4 + V 2 s 2 + ( 2 ! 0 V i + 2 k V ) s + (  =  􀀀 ! 2
0 + 2 k ! 0 i )
( c ) F o r t h e  x e d e x c i t a t i o n c a s e , w e c a n s t a r t a t e q u a t i o n ( 3 7 ) a n d c o m p u t e t h e s o l u t i o n t o t h e
 x e d e x c i t a t i o n F ( x ; t ) = F  ( t 􀀀 t 0 )  ( x 􀀀 x 0 ) a p p l i e d a t t h e p o i n t x 0 a t t i m e t 0 .
Y  m + 2   􀀀 1 Y _ m + (  (  m = L ) 4 +  )  􀀀 1 Y m = F 0  ( t 􀀀 t 0 ) s i n (  m x 0 = L ) ( 5 2 )
U s i n g t h e s a m e d e  n i t i o n s a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s a s i n t h e m o v i n g e x c i t a t i o n c a s e , w e c a n s o l v e t h e
a b o v e O D E :
Y m ( t ) = F 0 
 􀀀 1
m e 􀀀 k ( t 􀀀 t 0 ) s i n ( 
 m ( t 􀀀 t 0 ) ) s i n (  m x 0 = L ) u ( t 􀀀 t 0 ) ( 5 3 )
y ( x ; t ) =
2
L
1 X m = 0
Y m ( t ) s i n   m x
L  ( 5 4 )
W e c a n d e v e l o p t h e p r e v i o u s r e s u l t , o b t a i n i n g e q u a t i o n ( 1 2 ) .
7 . 2 T h e o r e m 3 . 2
I n t e g r a t i n g b y p a r t s a n d t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 1 5 ) a t x = 0 a n d t h o s e a t
x = 1 , w e g e t t h e n e x t r e l a t i o n s
Z 1
0
y 0 0 0 0 ( x ; t ) s i n (  x ) d x = 􀀀  2 Z 1
0
y 0 0 ( x ; t ) s i n (  x ) d x =  4 Z 1
0
y ( x ; t ) s i n (  x ) d x ( 5 5 )
T h e s e w i l l b e u s e d a s f o l l o w s . W e m u l t i p l y b o t h s i d e s o f e q u a t i o n ( 1 ) b y ( 2 =  ) 1 = 2 s i n  x a n d i n t e g r a t e
t h e m f r o m 0 t o 1 i n x . F u r t h e r o n , d e n o t i n g E I =  a n d d i v i d i n g b o t h p a r t s b y  , w e c o m e t o
e q u a t i o n
Y   + 2   􀀀 1 Y _  + (   4 +  )  􀀀 1 Y  = F  􀀀 1 c o s ! 0 t s i n  V t ( 5 6 )
w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n Y  ( 0 ) = _ Y
 ( 0 ) = 0 . H e r e
Y  ( t ) = ( 2 =  ) 1 = 2 Z 1
0
y ( x ; t ) s i n (  x ) d x ( 5 7 )
i s t h e F o u r i e r s i n e t r a n s f o r m a t i o n o f f u n c t i o n y ( x ; t ) . T h e r i g h t - h a n d s i d e a r r i v e d t h r o u g h f o r m u l a
Z 1
0
F c o s ! 0 ( t ) s i n (  x )  ( x 􀀀 V t ) d x = F c o s ! 0 t s i n  V t ( 5 8 )
2 1
D e n o t i n g  =  = k ; (   4 +  ) =  = ! 2 ; 
 2 = ! 2 􀀀 k 2 w e c o m e t o e q u a t i o n
Y   + 2 k Y _  + ! 2 Y  = F 0 c o s ! 0 t s i n  V t ( 5 9 )
w i t h z e r o i n i t i a l c o n d i t i o n s .
A s s u m i n g ! 2 􀀀 k 2 > 0 ; t h e r o o t s o f i t s c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a r e
 = 􀀀 k   i 
  ( 6 0 )
N o w w e c a n f o l l o w t h e s t e p s o f T h e o r e m 3 . 1 a n d u s i n g t h e d e  n i t i o n o f i n v e r s e S i n e T r a n s f o r m i n
1 7 , w e o b t a i n T h e o r e m 3 . 2 .
7 . 3 T h e o r e m 4 . 1
D e n o t e h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) b y h ( t ; x  ) . T o p r o v e ( a ) , n o t i c e t h a t :
z ( t ) = F h ( t ; x  ) +  ( t )
N o w , c o n s i d e r t h e t h e p r o j e c t i o n o p e r a t o r t h a t p r o j e c t s z ( t ) i n t o t w o s u b s p a c e s : t h e s u b s p a c e
d e  n e d b y h ( t ; x  )
j j h ( t ; x  ) j j
a n d t h e s u b s p a c e o r t h o g o n a l t o i t . I t i s c l e a r t h a t t h e p r o j e c t i o n t o t h e o r t h o g -
o n a l s u b s p a c e w i l l n o t c o n t a i n a n y i n f o r m a t i o n a b o u t F , a s t h e n o i s e i s w h i t e . T h u s o u r i n  n i t e
d i m e n s i o n a l e s t i m a t i o n p r o b l e m i s r e d u c e d t o :
Z 1
0
z ( t ) h ( t ; x  )
j j h ( t ; x  ) j j
d t = F j j h ( t ; x  ) j j + Z 1
0
 ( t ) h ( t ; x  )
j j h ( t ; x  ) j j
d t
I n t h i s o n e d i m e n s i o n a l p r o b l e m , w i t h a s i n g l e m e a s u r e m e n t , i t i s c l e a r t h a t t h e o p t i m a l e s t i m a t e
o f F i s o b t a i n e d b y d i v i d i n g b o t h s i d e s b y j j h ( t ; x  ) j j . T h e M S E c a n b e c o m p u t e d d i r e c t l y f r o m
t h e d e  n i t i o n , u s i n g E  R 1 0
 ( t ) h ( t ; x  )
j j h ( t ; x  ) j j 2 d t  = 0 a n d E  R 1 0
 ( t ) h ( t ; x  )
j j h ( t ; x  ) j j 2 d t  2 =  2 = j j h ( t ; x  ) j j 2 s i n c e  ( t ) i s
w h i t e n o i s e w i t h v a r i a n c e  2 .
F o r ( b ) t h e p r o o f f o l l o w s f r o m ( a ) , n o t i c i n g t h a t t h e m u l t i p l e s e n s o r p r o b l e m c a n b e r e d u c e d t o
t h e s i n g l e p r o b l e m b y c o n s i d e r i n g a c o m p o s i t e v e c t o r z = [ z 1 z 2 : : : z I ] T .
T h e p r o o f f o r ( c ) u s e s t h e P a r s e v a l ' s r e l a t i o n [ 2 1 ] f o r a f u n c t i o n f ( t ) . L e t F ( w ) b e t h e F o u r i e r
t r a n s f o r m o f f ( t ) . T h e n , u s i n g t h e t i m e s h i f t p r o p e r t y o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m , f ( t 􀀀 t 0 ) ,
e 􀀀 j w t 0 F ( w ) , a n d P a r s e v a l ' s r e l a t i o n , w e h a v e t h e i d e n t i t y
Z 1
0
f ( t 􀀀 t 0 ) 2 d t =
1
2  Z 1
0 j e 􀀀 j w t 0 F ( w ) j 2 d w =
1
2  Z 1
0 j F ( w ) j 2 d w
= Z 1
0
f ( t ) 2 d t
U s i n g t h e i d e n t i t y , i t i s c l e a r t h a t f o r t h e g i v e n i n f o r m a t i o n s e t t h e p r o p o s e d e s t i m a t o r c o m p u t e s
F e x a c t l y w h e n t h e m e a s u r e m e n t i s n o i s e f r e e .
2 2
F o r i t e m ( e ) , w e s t a r t b y w r i t i n g t h e e m p i r i c a l m e a n s q u a r e d e r r o r f u n c t i o n :
E = Z 1
0
( z ( t ) 􀀀 F h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) ) 2 d t :
O n e o f t h e o p t i m a l i t y c o n d i t i o n s f o r t h e e s t i m a t o r i s t h a t @ E = @ F = 0 , w h i c h i m p l i e s :
F = P I
i = 1 R 1 0 z ( t ) h ( t ; x  j j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) d t
P I
i = 1 j j h ( t ; x  j j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) j j 2
:
N o w u s e t h i s e q u a t i o n i n t h e d e  n i t i o n o f t h e e r r o r E , a n d i g n o r i n g t h e t e r m t h a t o n l y d e p e n d s o n
z , w e o b t a i n
E 0 = 􀀀 􀀀 R 1 0 z ( t ) h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) d t  2
j j h ( t ; x  j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) j j 2 ;
a n d s o m a x i m i z i n g 􀀀 E 0 i s e q u i v a l e n t t o m i n i m i z i n g E . I t e m ( f ) f o l l o w s b y u s i n g t h e s a m e a p p r o a c h
t o t h e c o s t
E =
I X i = 1 Z 1
0
( z ( t ) 􀀀 F h ( t ; x  i
j ! 0 ; V ;  ; t 0 ) ) 2 d t :
8 D i s c u s s i o n
I n t h i s p a p e r w e h a v e d e v e l o p e d a m e t h o d o l o g y f o r e s t i m a t i n g t h e m a g n i t u d e o f a d y n a m i c f o r c i n g
f u n c t i o n a p p l i e d t o a c o n c r e t e r o a d w a y , u s i n g d i s t r i b u t e d m e a s u r e m e n t s f r o m a c c e l e r a t i o n s e n s o r s
e m b e d d e d i n t h e p a v e m e n t . W e u s e a n a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n t o t h e p a v e m e n t m o d e l t h a t
c a n b e e  c i e n t l y c o m p u t e d a s t h e b a s i s o f o u r e s t i m a t o r . T h e a s y m p t o t i c m o d e l i s a c c u r a t e f o r
c o n c r e t e s l a b s s t a r t i n g a t 2 0 m e t e r s .
W e v e r i  e d t h e b e h a v i o r o f t h e p a v e m e n t r e s p o n s e u s i n g s o m e s i m u l a t i o n s a n d t h e n d e v e l o p e d
a t i m e s y n c h r o n i z e d e s t i m a t o r f o r t h e f o r c i n g p a r a m e t e r . W e a l s o c a l c u l a t e a n e r r o r b o u n d t h a t
s h o w s t h e q u a l i t y o f o u r a p p r o x i m a t i o n , w h i c h i s h e l p f u l t o g a u g e t h e q u a l i t y o f r e s p o n s e s i n  e l d
e x p e r i m e n t s .
O n e i m p o r t a n t i s s u e t h a t i s a d d r e s s e d i s a l s o t h e n e e d f o r a m a x i m u m d i s t a n c e b e t w e e n t h e
s e n s o r s , w h i c h w e d e r i v e u s i n g p r i n c i p l e s f r o m s a m p l i n g t h e o r y . T h i s d i s t a n c e i s t h e o n l y c o n s t r a i n t
i n s e n s o r p l a c e m e n t f o r o u r p r o b l e m .
A n e x t e n s i o n o f t h e c u r r e n t m o d e l , l e f t f o r f u t u r e w o r k s , i s t o m o d e l t h e r o a d w a y a s a 2 -
d i m e n s i o n a l s y s t e m . W e a l s o a r e i n t h e p r o c e s s o f v a l i d a t i n g o u r s e t u p e x p e r i m e n t a l l y w i t h a
s e n s o r d e p l o y e d a t a c o n c r e t e r o a d w a y .
R e f e r e n c e s
[ 1 ] J . B a u m e i s t e r , W . S c o n d o , M . A . D e m e t r i o u , a n d I . G . R o s e n , O n - l i n e p a r a m e t e r
2 3
e s t i m a t i o n f o r i n  n i t e - d i m e n s i o n a l d y n a m i c a l s y s t e m s , S I A M J o u r n a l o n C o n t r o l a n d O p t i -
m i z a t i o n , ( 1 9 9 7 ) , p p . 6 7 8 { 7 1 3 .
[ 2 ] D . C e b o n , H a n d b o o k o f V e h i c l e - R o a d I n t e r a c t i o n , S w e t s a n d Z e i t l i n g e r P u b l i s h e r s , 1 9 9 9 .
[ 3 ] T . H . T . C h a n , S . S . L a w , a n d T . H . Y u n g , I n t e r p r e t i v e m e t h o d f o r m o v i n g f o r c e i d e n t i -
 c a t i o n , J o u r n a l o f S o u n d a n d V i b r a t i o n , 2 1 9 ( 1 9 9 9 ) , p p . 5 0 3 { 5 2 4 .
[ 4 ] K . C h a t t i a n d K . K . Y u n , S a p s i - m : C o m p u t e r p r o g r a m f o r a n a l y z i n g a s p h a l t c o n c r e t e
p a v e m e n t s u n d e r m o v i n g a r b i t r a r y l o a d s , T r a n s p o r t a t i o n R e s e a r c h R e c o r d , ( 1 9 9 6 ) , p p . 8 8 { 9 5 .
[ 5 ] Y . C h e n , C . A . T a n b , L . A . B e r g m a n c , a n d T . C . T s a o d , S m a r t s u s p e n s i o n s y s t e m s f o r
b r i d g e - f r i e n d l y v e h i c l e s , i n P r o c e e d i n g s o f t h e 2 0 0 2 S P I E A n n u a l I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n
S m a r t S t r u c t u r e s a n d M a t e r i a l s ; S m a r t S y s t e m s f o r B r i d g e s , S t r u c t u r e s , a n d H i g h w a y s , 2 0 0 2 .
[ 6 ] R . E . E w i n g , T . L i n , a n d Y . L i n , A m i x e d l e a s t - s q u a r e s m e t h o d f o r a n i n v e r s e p r o b l e m o f
a n o n l i n e a r b e a m e q u a t i o n , I n v e r s e P r o b l e m s , ( 1 9 9 9 ) , p p . 1 9 { 3 2 .
[ 7 ] L . F r y b a , V i b r a t i o n o f S o l i d s a n d S t r u c t u r e s u n d e r M o v i n g L o a d s , N o o r d h o  I n t e r n a t i o n a l
P u b l i s h i n g , G r o n i n g e n , T h e N e t h e r l a n d s , 1 9 7 2 .
[ 8 ] T . T . F u a n d D . C e b o n , A n a l y s i s o f a t r u c k s u s p e n s i o n d a t a b a s e , I n t . J o u r n a l o f H e a v y
V e h i c l e S y s t e m s , 1 9 ( 2 0 0 2 ) , p p . 2 8 1 { 2 9 7 .
[ 9 ] M . G e r d i n , T . B . S c h o n , T . G l a d , F . G u s t a f s s o n , a n d L . L j u n g , O n p a r a m e t e r a n d
s t a t e e s t i m a t i o n f o r l i n e a r d i  e r e n t i a l a l g e b r a i c e q u a t i o n s , A u t o m a t i c a , ( 2 0 0 7 ) , p p . 4 1 6 { 4 2 5 .
[ 1 0 ] A . G o n z a l e z , A . T . P a p a g i a n n a k i s , a n d E . J . O ' B r i e n , E v a l u a t i o n o f a n a r t i  c i a l n e u -
r a l n e t w o r k t e c h n i q u e a p p l i e d t o m u l t i p l e - s e n s o r w e i g h - i n - m o t i o n s y s t e m s , T r a n s p o r t a t i o n R e -
s e a r c h R e c o r d , ( 2 0 0 3 ) , p p . 1 5 1 { 1 5 9 .
[ 1 1 ] G . G r i m m e t t a n d D . S t i r z a k e r , P r o b a b i l i t y a n d r a n d o m p r o c e s s e s , O x f o r d S c i e n c e P u b l i -
c a t i o n s , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 9 2 .
[ 1 2 ] M . S . A . H a r d y a n d D . C e b o n , R e s p o n s e o f c o n t i n u o u s p a v e m e n t s t o m o v i n g d y n a m i c
l o a d s , J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g M e c h a n i c s , ( 1 9 9 3 ) , p p . 1 7 6 2 { 1 7 8 0 .
[ 1 3 ] , I m p o r t a n c e o f s p e e d a n d f r e q u e n c y i n  e x i b l e p a v e m e n t r e s p o n s e , J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g
M e c h a n i c s , ( 1 9 9 4 ) , p p . 4 6 3 { 4 8 2 .
[ 1 4 ] M . H . H a y e s , S t a t i s t i c a l D i g i t a l S i g n a l P r o c e s s i n g a n d M o d e l i n g , J o h n W i l e y a n d S o n s , 1 9 9 6 .
[ 1 5 ] J . T . K e n n e y , S t e a d y s t a t e v i b r a t i o n s o f b e a m o n e l a s t i c s u b g r a d e f o r m o v i n g l o a d s , J o u r n a l
o f A p p l i e d M e c h a n i c s , 2 1 .
[ 1 6 ] S . K . L e m i n g a n d H . L . S t a l f o r d , B r i d g e w e i g h i n - m o t i o n s y s t e m d e v e l o p m e n t u s i n g s u p e r -
p o s i t i o n o f d y n a m i c t r u c k / s t a t i c b r i d g e i n t e r a c t i o n , i n P r o c e e d i n g s o f t h e A m e r i c a n C o n t r o l
C o n f e r e n c e , 2 0 0 3 .
2 4
[ 1 7 ] L . L j u n g , S y s t e m I d e n t i  c a t i o n : T h e o r y f o r t h e U s e r , P r e n t i c e - H a l l , 2 n d e d . , 1 9 9 9 .
[ 1 8 ] M . M a r k o w , J . K . H e d r i c , B . D . B r a d m e y e r , a n d E . A b b o , A n a l y z i n g t h e i n t e r a c -
t i o n s b e t w e e n v e h i c l e l o a d s a n d h i g h w a y p a v e m e n t s , i n P r o c e e d i n g s o f 6 7 t h A n n u a l M e e t i n g ,
T r a n s p o r t a t i o n R e s e a r c h B o a r d , 1 9 8 8 .
[ 1 9 ] F . M o s e s , W e i g h - i n - m o t i o n s y s t e m u s i n g i n s t r u m e n t e d b r i d g e s , T r a n s p o r t a t i o n E n g i n e e r i n g
J o u r n a l , 1 0 5 , p p . 2 3 3 { 2 4 9 .
[ 2 0 ] A . V . . O p p e n h e i m , R . W . S c h a f e r , a n d J . R . B u c k , D i s c r e t e - T i m e S i g n a l P r o c e s s i n g ,
P r e n t i c e - H a l l , 2 n d e d . , 1 9 9 9 .
[ 2 1 ] A . V . O p p e n h e i m , A . S . W i l l s k y , a n d S . H a m i d , S i g n a l a n d S y s t e m s , P r e n t i c e - H a l l ,
2 n d e d . , 1 9 9 7 .
[ 2 2 ] S . S . R a o , V i b r a t i o n o f C o n t i n u o u s S y s t e m s , J o h n W i l e y a n d S o n s , 2 0 0 7 .
[ 2 3 ] J . B . S o u s a , J . L y s m e r , S . S . C h e n , a n d C . L . M o n i s m i t h , D y n a m i c l o a d s : e  e c t s
o n t h e p e r f o r m a n c e o f a s p h a l t c o n c r e t e p a v e m e n t s , i n P r o c e e d i n g s o f 6 7 t h A n n u a l M e e t i n g ,
T r a n s p o r t a t i o n R e s e a r c h B o a r d , 1 9 8 8 .
[ 2 4 ] L . K . S t e r g i o u l a s , D . C e b o n , a n d M . D . M a c l e o d , S t a t i c w e i g h t e s t i m a t i o n a n d s y s t e m
d e s i g n f o r m u l t i p l e - s e n s o r w e i g h - i n - m o t i o n , J o u r n a l P r o c e e d i n g s o f t h e I n s t i t u t i o n o f M e c h a n -
i c a l E n g i n e e r s , P a r t C : J o u r n a l o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g S c i e n c e , 2 1 4 ( 2 0 0 0 ) .
[ 2 5 ] L . S u n a n d T . W . K e n n e d y , S p e c t r a l a n a l y s i s a n d p a r a m e t r i c s t u d y o f s t o c h a s t i c p a v e m e n t
l o a d s , J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g M e c h a n i c s , ( 2 0 0 2 ) , p p . 3 1 8 { 3 2 7 .
2 5